八年級(jí)（下）幾何綜合-全文預(yù)覽
【正文】 ｃｍ ２ ， Ｓ △ＡＥＦ ＝４ｃｍ ２ ， 求 EC∶AC 的值． E F A B C 【 解析 】 要求線段ＥＣ與ＡＣ的比值，由題目條件易證△ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ，得出比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ，可換個(gè)角度看圖形，則比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ又可看成是使△ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ成立的條件，從而尋求到轉(zhuǎn)機(jī)，后面的問(wèn)題就易于解決了． E F A B C 解： ∵ ＣＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ， ＢＦ ⊥ ＡＣ于Ｆ， ∴∠ ＡＥＣ＝ ∠ ＡＦＢ． ∵∠ Ａ＝ ∠ Ａ， ∴ △ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ， ∴ ＡＢ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＥ， 又 ∵∠ Ａ是公共角， ∴ △ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ， ∴ ( ＡＥ ∶ ＡＣ )２ ＝Ｓ △ＡＥＦ ∶ Ｓ △ＡＣＢ ＝４ ∶ ３６． 設(shè)ＡＥ＝ｋ，則ＡＣ＝３ｋ， ∴ ＥＣ ＝２ √ ２ｋ， ∴ EC∶AC= ２ √ ２ ∶ 3 E F A B C 當(dāng)證兩個(gè)三角形相似時(shí)，若兩個(gè)三角形有公共角，一般運(yùn)用 “ 兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角也相等，兩三角形相似 ”證明． 一般證明線段成比例的問(wèn)題或者計(jì)算問(wèn)題．在證明時(shí)我們一般要遵循以下三步： （１） “ 定 ” ：先確定比例式中的四條線段所在的兩個(gè)可能相似的三角形． （２） “ 找 ” ：找出這兩個(gè)三角形相似所需的條件． （３） “ 證 ” ：根據(jù)以上分析，寫出證明過(guò)程．如果這兩個(gè)三角形不相似，只能采用其他方法，如利用找中間比代替或引平行線等． 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （１）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＤＣ的中點(diǎn)時(shí)，求△ＡＢＦ 與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； FEBDCA圖① 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （２）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝２ ∶ １時(shí)，求△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖② F E B D C A 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （３）當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝３ ∶ １時(shí)，寫出△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比；當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝ｎ ∶ １（ｎ是正整數(shù)）時(shí)，猜想△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比（只寫結(jié)果，不要求寫出計(jì)算過(guò)程）； F E B D C A F E B D C A 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （４）請(qǐng)你利用上述圖形，提出一個(gè)類似的問(wèn)題 ． F E B D C A F E B D C A 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ．（１）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＤＣ的中點(diǎn)時(shí)，求△ＡＢＦ 與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖① 解：（１）如圖①，連接ＤＦ． 因?yàn)辄c(diǎn)Ｅ為ＣＤ的中點(diǎn)， 所以ＥＣ :ＡＢ＝ＥＣ :ＤＣ ＝１ :２． 據(jù)題意可證△ＦＥＣ ∽ △ＦＢＡ， 所以Ｓ △ＣＥＦ :Ｓ △ＡＢＦ ＝１ :４． 因?yàn)椋?△ＤＥＦ ＝Ｓ △ＣＥＦ ， Ｓ △ＡＢＦ ＝Ｓ △ＡＤＦ ． 所以Ｓ △ＡＢＦ :Ｓ 四邊形ＡＤＥＦ ＝ Ｓ △ＡＢＦ : (Ｓ △ＡＤＦ ＋Ｓ △ＤＥＦ )＝４ : ５． F E B D A C 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （２）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝２ ∶ １時(shí)，求△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖② （２）如圖②，連接ＤＦ． 與（１）同理可知， Ｓ △ＣＥＦ ∶ Ｓ △ＡＢＦ ＝４ ∶ ９， Ｓ △ＤＥＦ ∶ Ｓ △ＣＥＦ ＝１ ∶ ２， Ｓ △ＡＤＦ ＝Ｓ △ＡＢＦ ， 所以Ｓ △ＡＢＦ ∶ Ｓ 四邊形ＡＤＥＦ ＝ Ｓ △ＡＢＦ ∶ (Ｓ △ＤＥＦ ＋Ｓ △ＡＤＦ ) ＝９ ∶ １１． F E B D A C 例 3:如圖所示，點(diǎn)Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運(yùn)動(dòng)，ＡＣ與ＢＥ交于點(diǎn)Ｆ． （３）當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝３ ∶ １時(shí)， 寫出△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 當(dāng)點(diǎn)Ｅ運(yùn)動(dòng)到ＣＥ ∶ ＥＤ＝ｎ ∶ １（ｎ是正 整數(shù)
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