【正文】 －1mx－mx0 ， 即 mx [2 m2x2－ (1 ＋ m2)] 0 . 由 f ( mx ) ＋ mf ( x ) 0 在 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立知， mx [2 m2x2－ (1 ＋ m2)] 0 在 x ∈ [1 ，＋ ∞ ) 上恒成立． ∴ m ≠ 0. 當(dāng) m 0 時，只要 2 m2x2－ (1 ＋ m2) 0 恒成立， 即 x21 ＋ m22 m2 ， ∵ x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， ∴1 ＋ m22 m2 1 ， ∴ m21 ， ∴ m － 1. 當(dāng) m 0 時，只要 2 m2x2－ (1 ＋ m2) 0 恒成立， 即 x21 ＋ m22 m2 . ∵ x ∈ [1 ，＋ ∞ ) ， ∴ x21 ＋ m22 m2 不恒成立． 綜上，實數(shù) m 的取值范圍為 ( － ∞ ，－ 1) ． 答案 ( － ∞ ，－ 1) 考題分析 本小題考查了函數(shù)、不等式以及由不等式恒成立，求參數(shù)范圍問題．考查了解決此類問題的基本方法．體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．考查了考生靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力． 易錯提醒 ( 1 ) 不等式的轉(zhuǎn)換是 易錯點． ( 2 ) 在討論新函數(shù)的單調(diào)性時，易忽略對 m 的分類討論． ( 3 ) 方法選擇不當(dāng)，難以進行下去． 思想方法概述 函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系．函數(shù)與方 程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來解決問題，是歷年高考的重點和熱點． 1 ． 函數(shù)的思想 用運動和變化的觀點，集合與對應(yīng)的思想分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決．函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識． 2 ． 方程的思想 在解決問題時，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問題中所涉及的各量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，求出未知數(shù)及各量的值，或者用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決． 3 ． 函數(shù)的思想與方程的思想的關(guān)系 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決．對于函數(shù) y ＝ f ( x ) ，當(dāng) y ＝ 0 時，就轉(zhuǎn)化為方程 f ( x ) ＝ 0 ，也可以把函數(shù) y ＝ f ( x ) 看作二元方程 y － f ( x ) ＝ 0 ，函數(shù)與方程可相互轉(zhuǎn)化． 4 ． 函數(shù)與方程的思想在解題中的應(yīng)用 ( 1) 函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù) y ＝ f ( x ) ，當(dāng) y 0時，就化為不等式 f ( x ) 0 ，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式． ( 2) 數(shù)列的通項與前 n 項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要． ( 3) 解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． ( 4) 立體幾何中有關(guān)線段、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決 . 熱點分類突破 題型一 函數(shù)與方程思想在求最值或參數(shù)范圍中的應(yīng)用 例 1 已知 a ， b ， c ∈ R ， a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， a ＋ bc － 1 ＝ 0 ， 求 a 的取值范圍． 思維啟迪 本題可以根據(jù)題設(shè)條件將 b ， c 的和與積用 a 表示，構(gòu)造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判別式 Δ ≥ 0 ，再構(gòu)建 a 的不等式求解，或根據(jù)題設(shè)條件將 a 表示成 c 的函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解． 解 方法一 ( 方程思想 ) ：因為 b ＋ c ＝－ a ， bc ＝ 1 － a . 所以 b ， c 是方程 x2＋ ax ＋ 1 － a ＝ 0 的兩根， 所以 Δ ＝ a2－ 4 ( 1 － a ) ≥ 0 ，即 Δ ＝ a2＋ 4 a － 4 ≥ 0 ， 解得 a ≥ － 2 ＋ 2 2 或 a ≤ － 2 － 2 2 . 方法二 ( 函數(shù)思想 ) ：由已知????? a ＋ b ＋ c ＝ 0a ＋ bc － 1 ＝ 0， 得 b ＋ c － bc ＋ 1 ＝ 0 ， 如果 c ＝ 1 ，則 b ＋ 1 － b ＋ 1 ＝ 0 ， 即 2 ＝ 0 ，不成立，因此 c ≠ 1 ， 所以 b ＝c ＋ 1c － 1， a ＝1 ＋ c1 － c－ c . 令 f ( c ) ＝1 ＋ c1 － c－ c ＝c2＋ 11 － c， 所以 f ′ ( c ) ＝－ c2＋ 2 c ＋ 1( 1 － c )2. 令 f ′ ( c ) ＝ 0 ，則 c ＝ 1177。 5 8 ．方程 x l g ( x ＋ 2) ＝ 1 有 _ _ _ _ _ _ _ _ 個不同的實數(shù)根． 解析 x l g ( x ＋ 2) ＝ 1 ，轉(zhuǎn)化為 l g ( x ＋ 2) ＝1x. 方程解的個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù) y ＝ l g ( x ＋ 2) 與函數(shù) y ＝1x的圖象交點問題，如圖所示，有兩個交點． 2 三、解答題 9 ．已知 { a n } 是一個等差數(shù)列，且 a 2 ＝ 1 ， a 5 ＝－ 5. ( 1 ) 求 { a n } 的通項公式； ( 2 ) 求 { a n } 前 n 項和 S n 的最大值． 解 ( 1 ) 設(shè) { an} 的公差為 d ，由已知條件，得 ????? a1＋ d ＝ 1