【正文】 其中是預(yù)先給定的與無關(guān)的正常數(shù)，則：.由得任意性，. ：若是有界集，則.證明：，使，有，即，有，從而. 所以 ？ 解：，設(shè)，中有一個內(nèi)點(diǎn) .,使得.則所以. ，但又異于的閉集？ 解：不能 事實(shí)上，若，則可作，.，我們可記為新的，從而. 如果，即，而是開集，故是的一個內(nèi)點(diǎn)，由3題，.這與矛盾. 故不存在閉集且 167?，F(xiàn)在證：可數(shù)，因?yàn)?是可數(shù)個有理數(shù)集的并，故可數(shù)，又因?yàn)椴⑶?，所以可?shù) 故可數(shù)14．證明：可數(shù)集的有限子集的全體仍是可數(shù)證明： 設(shè)Q為可數(shù)集，不妨記為：,令則 為有限集（），則為正交可數(shù)集，即又因?yàn)?，所?，故A是Q上一切有限子集的全體。在上可積. ，是上的非負(fù)可測函數(shù)，試證明：. 證明：，因?yàn)?，所以，? 又因?yàn)?，由積分的絕對連續(xù)性（即，P103，定理4）. ,使得對于任何可測集，恒有. 對于，由，得，存在，時，有，從而. ，且，為上的非負(fù)可測函數(shù)，試證: 在上可積當(dāng)且僅當(dāng)級數(shù)收斂. 證：設(shè)，因?yàn)樵诳煞e，故.即，級數(shù)收斂. ,因?yàn)?，又，所? 從而，在上可積. ，證明：. 證明：（1）先證：，存在時直線上的連續(xù)函數(shù)，使得 .對于，記： . 則：. 則 + =. 因?yàn)樵谑强煞e的，故，使，時，恒有，又因?yàn)槭菃握{(diào)的集列，并且.從而，. 所以，對于，使得. 對于，取，由連續(xù)擴(kuò)張定理（第10頁，定理3），存在閉集及上的連續(xù)函數(shù)，使得 （i） （ii） (iii) 則 ，從而. (2)再證： ，由（1）知，存在上的連續(xù)函數(shù)使得，因?yàn)樵谏弦恢逻B續(xù)，所以使得，時，恒有，++. 因?yàn)闀r，有，故.所以. 故. ，是任意常數(shù)，滿足，試證：存在，使得. 證明：設(shè)常數(shù)，合于，當(dāng)時，存在，使得，不妨設(shè). 先證：在上連續(xù)，因?yàn)?，由積分的絕對連續(xù)性（P85，定理4），有.故，因，故. 所以，. 同理，對于，在上連續(xù). 又因?yàn)椋ǜ鶕?jù)P89的定義4）.所以，使得.故，由在閉區(qū)間上的介值定理（連續(xù)函數(shù)的介值定理），使得，有 . ，是大于1的數(shù)，2是的共軛輸，都有，試證. 11，試證：（i）. (ii) . 證明：（i）時，（尋找控制函數(shù)）當(dāng)時：；當(dāng)時：. 令，從而，且在是可積的，故在是可積的.，. (ii),定義，并且，.,有. 下面證明：，. 事實(shí)上，令，取，則.又記，又因.所以，關(guān)于單調(diào)遞減，有，從而， . ，.. 因?yàn)樵谏峡煞e，由控制收斂定理，. ，試證明：在上當(dāng)且僅當(dāng). 證明：，（在上），所以， .故在上，. 又因?yàn)?，且，由有界收斂定理，? 對于，因. 故，..167。第一章習(xí)題參考解答第一章習(xí)題參考解答3．等式成立的的充要條件是什么？解： 若，則 .即，. 反過來, 假設(shè), 因?yàn)? 所以, . 故, .最后證，事實(shí)上，, 則且。 積分極限定理 一．定理（非負(fù)可測函數(shù)序列的積分與極限可交換性） 二．控制收斂定理. 定理4（定理的絕對連續(xù)性定理）若在上可積，則，：，有. 證明：因?yàn)榭煞e，所以可積（只需證：，） ，.,.，使.`要找，使，有. 定理5（控制收斂定理）設(shè) （i），是上可測函數(shù)序列. (ii) 存在非負(fù)可積函數(shù)使得， . (iii) ,.則在上可積，并且.基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí) Th（P60，定理4） Th（P61，定理5） 存在子列 控制收斂定理的證明： 因?yàn)?，?Th，存在子列 .因此，.，所以 ，故在上可積，從而，故在上可積，下證：.（1）先證：時，有.,記.則. 因?yàn)樵谏峡煞e，由積分的絕對連續(xù)性，使，有. 又因?yàn)?，所以，時，. 即，. （2）再證：時，也有. ,因?yàn)?，所以，? 則. 因?yàn)椋ㄓ?的證明），所以，有.即，.從而， 推論（有界收斂定理）.設(shè) （i） （ii），（常數(shù)）且在上可測 （iii） 則在上可積，且. 定理6. 在上可積在上的間斷點(diǎn)集是一個零測集. 三．定理. ，是上的一簇可積函數(shù)，稱是上的積分等度絕對連續(xù)函數(shù)簇，如果，恒有. 基本