【正文】 得當時, 有, 即對任意有。 又由 知 即對任意的, 存在使得當時, 有. 取, 則有與同時成立, 于是有, 從而, 由的任意性知：, 即, 故有。綜上所述：5．證明集列極限的下列性質(zhì)．(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．證明 (1) .(2) .(3) .(4) .6．如果都收斂，則都收斂且(1) ；(2) ；(3) ．1．建立區(qū)間與之間的一一對應．解 令, ,則,.定義為: 則為之間的一個一一對應.2．建立區(qū)間與之間的一一對應，其中．解 定義: 為:可以驗證: 為一個一一對應.3．建立區(qū)間與之間的一一對應，其中．解 令，. 定義為: 可以驗證: 為一個一一對應.4．試問：是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為區(qū)間?是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為?答 不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為。 因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間存在最大、最小值.也不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為。 因為連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在介值性定理, 而區(qū)間不能保證介值性定理永遠成立.5．證明：區(qū)間且．證明 記,則.任取, 設(shè) 為實數(shù)正規(guī)無窮十進小數(shù)表示, 并令, 則得到單射. .若令, 則. : .最后, 根據(jù)定理知: .對于,定義為:,則為的一個一一對應,即. 又因為: , 則由對等的傳遞性知: 且.6．證明：與對等并求它們的基數(shù)．