【正文】 遞函數(shù) 1)(1 11111121221122121222111222112221111?????????????sCRCRCRsCCRRsCRCRsCRsCRsCRsCRCRGG 例 25 已知機(jī)械系統(tǒng)如圖 24（ a）所示，電氣系統(tǒng)如圖 24（ b）所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。 C 由于某種原因突然下降 (例如爐門打開造成的熱量流失 )，則出現(xiàn)以下的控制過程： 控制的結(jié)果是使?fàn)t膛溫度回升，直至 T 176。 例 12 題 12 圖是倉庫大門自動控制系統(tǒng)原理示意圖。 在正常情況下，爐溫等于某個(gè)期望值 T 176。即： )()( )( sZsI sU ? 如果二端元件是電阻 R、電容 C 或電感 L，則復(fù)阻抗 Z(s)分別是 R、 1/C s 或 L s 。 圖 26 電氣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖 RC 網(wǎng)絡(luò) ?????? ??? sCIIURI 221111 1)(1 ?????? ?? 112 1112 sCR sCRII sCIIIRU 221222 1)( ??? 即可畫出結(jié)構(gòu)圖如圖 所示。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。因此，兩個(gè)極點(diǎn)之間的分離點(diǎn)應(yīng)為 s1=－ 。有一條根軌跡分支終止在有限開環(huán)零點(diǎn) － 2，其它三條根軌跡分支將趨向于無窮遠(yuǎn)處。 。 176。 90176。 在 ? = ?4 處，斜率從 ?40 dB/dec 變?yōu)??60 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 例 56 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) )120)(110)(1(12(100(????? ssssssG）） 試求系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。 例 62 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) ))(1()( ??? sss ksG 單位斜坡輸入 R(t)= t，輸入產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差 e ? 。當(dāng) A→ ?時(shí)， ?1/N(A)= ??，因此 ?1/N(A)曲線位于 ?~ ??這段負(fù)實(shí)軸上。若參數(shù) T、 K 使系統(tǒng)具有一對負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（欠阻尼），則其相軌跡如圖 76(a)所示。這是因?yàn)椋寒?dāng)輸出信號較小時(shí)（ |c|Δ），相當(dāng)于沒有局部反饋， c(t)沿曲 線 1 快速上升。系統(tǒng)存在局部反饋時(shí)，隨動系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)是 sKTs KKsG )1()( 22 21 ???? 相應(yīng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2222122212 )1()(nnnssKKsKTsKKs????????????? 其中， )2/(1( ,/ 21221 KTKKTKKn ??? ??? 。 [例 73] 典型階線性系統(tǒng)如圖 75 所示，試用相平法求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。 解 當(dāng) R(s) = 0 時(shí)，令 C(s) = 0 得 0)()(1 21 2 ??? sNsNGGG GG 所以 11 21 2 ??? GGGGG 已知 G1(s)= k， G2(s)=1/s2，閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 012121 ??? cGGGGG 由 Mp% = 25%， tp = 2，求得理想閉環(huán)極點(diǎn) ,21 js ??? ))(()( 221 ?????? sssssssd 由系統(tǒng)特征方程得 012121 ???? sksksk t 用長除法可得 k1=， kt? = ssG GGGG 22 21 ?????? 所以 G c = Gn = ?s2 ? k1 = 第七章習(xí)題及答案 [例 71] 具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖 71 所示，試求。 (1) 確定滿足上述指標(biāo)的最小 k 值，計(jì)算該 k 值下的相位裕度和幅值裕度。作系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如圖 568 所示。 在 ? = 處，斜率從 0 dB/dec 變?yōu)?20dB/dec，屬于一階微分環(huán)節(jié)。177。 作等效系統(tǒng)的根軌跡如圖 43 所示。 （ 5）確定根軌跡 與虛軸的交點(diǎn) 圖 41 例 41 系統(tǒng)的根軌跡 σ ω j 系統(tǒng)的特征方程式為 0)2(3)22)(3( 2 ?????? sKssss 即 06)36(85 234 ?????? KsKsss 勞斯行列表 4s 1 8 K6 3s 5 K36? 2s 5 )36(40 K?? K6 1s KKK 33415036 ??? 0 0s 6 若陣列中的 s1 行等于零，即 （ 6+3K）－ 150K/（ 343K） =0，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 系統(tǒng)的根軌跡如圖 41所示。 （ 2）系統(tǒng)的根軌跡有 3??mn 條漸進(jìn)線 漸進(jìn)線的傾斜角為 03 180)12()12( ? ??????? KmnKa ?? 取式中的 K=0， 1， 2， 得 φ a=π /3， π ， 5π /3。 解 勞斯表為 4s 1 18 5 3s 8 16 0 2s 168 161188 ???? 58 0158 ???? 1s 581616 ???? 0 0s ???? 由于特征方程式中所有系數(shù)均為正值，且勞斯行列表左端第一列的所有項(xiàng)均具有正號，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 表 21 相似量 機(jī)械系統(tǒng) xi x0 y F F1 F2 K1 1/K2 f1 f2 電氣系統(tǒng) ei e0 ec2 i i i 1/R R C1 C2 例 2． 5RC 網(wǎng)絡(luò)如圖 所示，其中 u1 為網(wǎng)絡(luò)輸入量， u2 為網(wǎng)絡(luò)輸出量。 （ 3）整理成標(biāo)準(zhǔn)形為 fMfdtdJ ?? ?? 此為一階線性微分方程，若輸出變量改為 ?，則由于 dtd??? 代入方程得二階線性微分方程式 fMdtdfdtdJ ?? ??22 22 已知在零初始條件下，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 tt eetc ?? ??? 221)( ，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)。分析系統(tǒng)的工作原理，指出被控對象、被控量和給定量，畫出系統(tǒng)方框圖。反之，當(dāng)合上關(guān)門開關(guān)時(shí)，電動機(jī)帶動絞盤使大門關(guān)閉，從而可以實(shí)現(xiàn)大門遠(yuǎn)距離開閉自動控制。 第二章習(xí)題及答案 例 21 已知機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖 21 所示，試列出系統(tǒng)運(yùn)動方程。 運(yùn)動方程可直接用復(fù)阻抗寫出： ???????????????????)()()]()([1)()]()([()]()([1)()(2220201121sEsCsIsEsERsIsEsEsCsEsERsIsIsICciii 整理成因果關(guān)系： 圖 25 機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 ???????????????)()()(1)()]()()[(1()(22022011sEIRsEsISCsEsEsEsCRsICci 畫結(jié)構(gòu)圖如圖 26 所示： 求傳遞函數(shù)為： SCRsCRSCRSCRSCRSCRSCRSCRsCRsEsEi 2122112211221122110)1)(1()1)(1( )1)(11(1)1)(1()()(???????????? 對上述兩個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行比較后可以看出。如果要求系統(tǒng)的超調(diào)量等于 %15 ，峰值時(shí)間等于 ，試確定增益 K1 和速度 反饋系數(shù) Kt 。 解 根據(jù)繪制根軌跡的法則，先確定根軌跡上的一些特殊點(diǎn)，然后繪制其根軌跡圖。 因本系統(tǒng)特征方程式的三個(gè)根之和為 － 2K，利用這一關(guān)系，可確定根軌跡各分支上每一點(diǎn)的 K 值。 60176。 根軌跡有兩條漸近線，且 σ a=1， φ a=177。 （ 2）軸上的根軌跡區(qū)間為 [－ 4， 0]。 解 01)(lg20)(22 ???ccaL ??? ?c4 = a2?c 2 + 1 ??????? 451 8 0)a r c ta n (1 8 0 ca ?? a?c = 1 聯(lián)立求解得 4 2?c? ??a 例 53 最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻漸近特性如圖 565 所示，請確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 例 55 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )( 10)( 2 ???? ssssG 試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作虛圓弧如圖 572 所示。 設(shè) 1 )1()( 111 ??? s sTksGc 當(dāng) ?c = 5 時(shí)， ?c1(?c) = arctan(T1?c) ? arctan(?c) jTjkL cc 51 )15(lg20)( 111 ? ??? 由 ?c1(?c)= ?(?c) ? 45? 可得 arctan(T1?c)= arctan(?c) ? 45? 即 T1 = 另外，在增大 ? 的同時(shí)，要 Gc (s)?s=j? 保持的幅值不變，才能不改變系統(tǒng)截止頻率，因此 Lc1(?c) = Lc (?c) jjjTjk 51 )(10lg2051 )15(lg20 11 ? ??? ? 從而解出 k1 = 。 由結(jié)構(gòu)圖知，非線性特性是滯環(huán)繼電特性： M=1， h=,故 )(14 4)(14)(2222????????hAAjAAAMhjAhAMAN???? 圖 72 例 72 非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 （ a） （ b） 圖 73 例 71 結(jié)構(gòu)圖變換 畫出 ?1/N(A)曲線與 G(j?)曲線如圖 74 所示， ?1/N(A)曲線是一條虛部為?j?h/4M=? 的直線。 應(yīng)當(dāng)特別指出，由于在非線性系統(tǒng)中，其非線性特性往往可以分段加以線性化，而在每一個(gè) 分段中，系統(tǒng)都可以用線性微分方程描述，因此線性系統(tǒng)在相平面分析是非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。 綜上所述，在多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)中存在的非線性因素，對系統(tǒng)的