【正文】 176。與此同時，和大門連在一起的電刷也向上移動，直到橋式測量電路達到平衡，電動機停止轉(zhuǎn)動，大門達到開啟位置。 例 12 題 12 圖是倉庫大門自動控制系統(tǒng)原理示意圖。 題 13 圖 爐溫自動控制系統(tǒng)原理圖 解 加熱爐采用電加熱方式運行，加熱器所產(chǎn)生的熱量與調(diào)壓器電壓 cu 的平方成正比， cu 增高，爐溫就上升， cu 的高低由調(diào)壓器滑動觸點的位置所控制，該觸點由可逆轉(zhuǎn)的直流電動機驅(qū)動。 C 由于某種原因突然下降 (例如爐門打開造成的熱量流失 )，則出現(xiàn)以下的控制過程： 控制的結(jié)果是使爐膛溫度回升，直至 T 176。 解 單位階躍輸入時，有 ssR 1)( ? ，依題意 sss sssssC 1)2)(1( 2311221)( ??? ??????? ? )2)(1( 23)( )()( ?? ??? ss ssR sCsG ? ? tt eessLsGLtk ???? ???????? ?????? 211 42411)()( 23 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) 232)( )( 2 ??? sssR sC，且初始條件為 1)0( ??c ，0)0( ?c? ，試求系統(tǒng)在輸入 )(1)( ttr ? 作用下的輸出 )(tc 。則 222112112 1 SCRCRLLL ?? 由上式可寫出特征式為： 2221112221121321 11111)(1 SCRCRSCRSCRSCRLLLLL ??????????? 通向前路只有一條 圖 23 RC 無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 （ a） （ b） （ c） （ d） 2212122111 11111 SCCRRSCRSCRG ????? 由于 G1 與所有回路 L1， L2， L3 都有公共支路，屬于相互有接觸，則余子式為 Δ 1=1 代入梅遜公式得傳遞函數(shù) 1)(1 11111121221122121222111222112221111?????????????sCRCRCRsCCRRsCRCRsCRsCRsCRsCRCRGG 例 25 已知機械系統(tǒng)如圖 24（ a）所示，電氣系統(tǒng)如圖 24（ b）所示，試畫出兩系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)，證明它們是相似系統(tǒng)。 （ 1）畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖； （ 2）求傳遞函數(shù) U2(s)/ U1(s)。 解 首先明顯看出，在單位階躍作用下響應的穩(wěn)態(tài)值為 3，故此系統(tǒng)的增益不是 1，而是 3。 例 單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )1)(1()( 2 ???? csbsass KsG 試求： （ 1）位置誤差系數(shù)，速度誤差系數(shù)和加速度誤差系數(shù)； （ 2）當參考輸入為 )(1tr? ， )(1trt? 和 )(12 trt ? 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。于是，各參數(shù)之間應有如下關(guān)系 ?TKK gp 本例為 I 型系統(tǒng)，位置穩(wěn)態(tài)誤差 ess=0 的要求自然滿足 例 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )2()(2nnsssG ????? 已知系統(tǒng)的誤差響應為 tt eete )( ?? ?? （ t≥ 0） 試求系統(tǒng)的阻尼比 ξ、自然振蕩頻率 ωn 和穩(wěn)態(tài)誤差 ess。 漸進線與實軸的交點為 13 )210(1 11 ??????????? ??? ?? ??mi inj ja zpmn? 三條漸近線如圖 413 中的虛線所示。當前兩條根軌跡分支和虛軸在 K=3 處相交時，可按式 3)()( ?????? jjx? 求出后一條根軌跡分支上 K=3 的點為 ο x=－ 3。 例 42 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(3( )2(3)()( 2 ??? ?? ssss sKsHsG 試繪制系統(tǒng)的根軌跡。 三條漸近線如圖 414中的虛線所示。 解之可得 K=。 把待求代數(shù)方程視為某系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式，作等效變換得 034 )86(1 234 2 ??? ??? sss ssK g Kg=1 時，即為原代數(shù)方程式 。 S 平面 ω j σ 1 2 3 4 0 j1 j2 j3 j3 135176。經(jīng)幾次試探后，得 Kg= 時 s2=－ 。 135176。求解輔助方程 026)( 2 ??? gKssF 得根軌跡與虛軸的交點為 10js ?? 。 在 ? = ?1 處，斜率從 20 dB/dec 變?yōu)?0 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 解 (1) 由系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線可知，系統(tǒng)存在兩個交接頻率 和20，故 )120/)((( ??? sss ksG ） 且 010lg20 ?k 得 k = 10 所以 )120/)(( 10( ??? ssssG ） (2) 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性為 ??????????3220lg201lg2010lg20(????）L 20??????? 從而解得 ?c = 1 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性為 20a r c t a r c t a n90)( ???? ????? ?(?c) = ?? ? =180? ? ?(?c) = ? 故系統(tǒng)穩(wěn)定。 由于 ? =1，故需從幅相曲線上 ? = 0 的對應點起，逆時針補畫半徑為無窮大的 ?/2 圓弧。 解 開環(huán)系統(tǒng)有虛極點 s = ?j2。 (2) 前向通路中串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò) Gc (s)=(1+)/(1+)，試計算相位裕度。 解 選 k = 5 對于校正前的系統(tǒng) ????????????????????5lg205lg205lg20)(L 2211?????? 令 L(?)=0 ，可得 ?c = ? = 180? ? 90? ? arctan?c ? arctan(?c) = ??? ? * 不滿足性能要求，選用遲后校正網(wǎng)絡(luò)加以校正。 (1) K=15 時系統(tǒng)的自由運動狀態(tài)。 （ 2）欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩，由于 G(s)極點均在左半 s 平面，故根據(jù)奈氏判據(jù)知，應使 G(j?)曲線不包圍 ?1/N(A)曲線，即 ??? k 故 K 的臨界穩(wěn)定值為： ???M A XK [例 72] 非線性系統(tǒng)如圖 72 所示，試用描述函數(shù)法分析周期運動 的穩(wěn)定性，并確定自振蕩的振幅和頻率。 解 由于是用相平法求 r(t)作用下的系統(tǒng)的響應，故相平面取為 e— e? 平面，由結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的微分方程為： KeccT ????? 因 e=r?c，有 rrTKeeeT ?????? ???? 1．階躍響應 此時 r(t)=R?1(t)，則當 t0 時，有 r(t)=R ，0??rr ??? 。由此可知此時相軌跡的奇點為（ v/K， 0）。 這時的阻尼比 ? 較大，系統(tǒng)的階躍響應曲線如圖 79 中的曲線 2，無超調(diào)，但響應速度很慢。 圖 79 例 74 系統(tǒng)的階躍響應曲線 圖 710 死區(qū)非線性特性的實現(xiàn) 。 接入非線性反饋校正之后，它的階躍響應曲線如圖 79 中的曲線 3，響應快，又沒有超調(diào)。由于 e? (0)= r? (0) ?c? (0)=v，故相軌跡的起點為（ 0， v）。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 c(0)=0， c? (0)=0，則誤差的初始條件為 e(0)=R， e? (0)=0。由于在用描述函數(shù)分析穩(wěn)定性和自振蕩時，不考慮 r(t)的作用，故設(shè) r(t)=0。 解 查表 71 可知飽和非線性特性的描述函數(shù)為 )( ])(1[ ar cs i n2)( 2 aAAaAaAakAN ???? ? 其中 k=2， a=1，于是 ???????????????????21111a r cs in4)(1AAAAN? 起點 A=1 時 ， ?1/N(A)=?。若要求?c 不變，如何選擇 k ， T 值，才能使系統(tǒng)相位裕度提高 45?。 (2) 串聯(lián)超前校正網(wǎng)絡(luò) Gc (s) = (1+) / (1+) ssssssG ))(( 6)( ?????? ??????????????????????????????????????????lg20lg20lg206lg206lg20)(L 3????????????? 令 L(?)=0，可得 ?c = ) rc t a n () rc t a n (90180 cc ??? ?????? ?????? ) rc t a n () rc t a n ( cc ?? 可見串入超前校正網(wǎng)絡(luò)后， ? 增大，系統(tǒng)變?yōu)榉€(wěn)定。 由于 ? =1，從幅相曲線上對應 ? = 0 的點起逆時針補作 90?且半徑為無窮大的虛圓弧。于是 s 右半平面的閉環(huán)極點數(shù) z = p ?2N = 2 表明系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 由時域估計指標公式 ts = k? /?c 得 ts1 = 即調(diào)節(jié)時間縮短，系統(tǒng)動態(tài)響應加快。 在 ? = ?3 處，斜率從 ?20 dB/dec 變?yōu)??40 dB/dec，屬于慣性環(huán)節(jié)。 圖 44 例 44 系統(tǒng)的根軌跡 S 平面 ω σ j 第五章習題及答案 例 51 已知一控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 51 所示，當輸入 r(t) = 2sint 時，測得輸出 c(t)=4sin(t?45?)，試確定系統(tǒng)的參數(shù) ? ， ?n。 j4 處，根軌跡的起始角為 θ =177。 解 按照基本法則依次確定根軌跡的參數(shù)： （ 1）系統(tǒng)無開環(huán)有限零點，開環(huán)極點有四個，分別為 0， － 4，和 － 2177。 90176。 系統(tǒng)開環(huán)有限零點 z1=－ 2， z2=－ 4；開環(huán)有限極點為 p1=p2=0， p3=－ 1， p3=－ 3。 解之得根軌 跡與虛軸的交點為 s=177。從復數(shù)極點 (－ 1177。共有四條根軌跡分支。 j0。 （ 4）確定分離點 系統(tǒng)的特征方程式為 0223 23 ???? Ksss 即 )23(21 23 sssK ???? 利用 0/ ?dsdK ，則有 0)26(21 23 ????? ssdsdK 解得 ??s 和 ??s 由于在 － 1 到 － 2 之間的實軸上沒有根軌跡，故 s2=－ 顯然不是所要求的分離點。故 ttTtTt eeeete )( 21 ???? ???? 即，系統(tǒng)時間常數(shù)為 ?T ?T 令