【正文】 由式（ 226）看：不管 φ(x,y)是什么函數(shù)，都能滿足平衡方程。 滿足： 的函數(shù) 稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。 （ 1） （ 2） 解 （ a） （ b） （ 1） 將式（ a）代入平衡方程： （ 22） —— 滿足 將式（ a）代入相容方程： ∴ 式（ a）不是一組可能的應(yīng)力場。 左側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式 右側(cè)面： 代入應(yīng)力邊界條件公式，有 上端面： 為次要邊界，可由圣維南原理求解。 由幾何方程得： 積分得： 由幾何方程的第三式得： 顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。 討論： （ 1） —— Laplace方程， 或稱調(diào)和方程。 (a) (b) 式 (a)為非齊次方程，其解： 全解 = 齊次方程通解 平衡微分方程解的形式 (1) 特解 常體力下特解形式： +非齊次方程的特解。 相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）： （應(yīng)變表示形式、應(yīng)力表示形式、應(yīng)力函數(shù)表示。 —— 半逆解法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。 (a) 任意斜面上應(yīng)力 或 4. 圣維南原理的應(yīng)用 （ d）任意斜方向的線應(yīng)變 （ 211） （ e）一點(diǎn)任意兩線段夾角的改變 （ 212） 若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計。 再驗證，式（ a）是否滿足邊界條件？ —— 滿足 ——滿足 ——近似滿足 近似滿足 結(jié)論：式（ a）為正確解 代入相容方程： 0?上、下側(cè)邊界： 右側(cè)邊界： 左側(cè)邊界： 例 7 圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。 （ 3）按位移求解平面問題的基本方程 （ 1）平衡方程： （ 220） （ 2）邊界條件： 位移邊界條件： （ 217） 應(yīng)力邊界條件： （ 221） ZS《 Rock Mass Mechanics》 2022/2/14 ZS 變形協(xié)調(diào)方程（相容方程） 按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)： （ 22） 平衡微分方程： 2個方程方程， 3個未知量，為超靜定問題。 （ 3）混合求解 以部分 位移分量 和部分 應(yīng)力分量 為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量 ， 再求出其余未知量。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力 和剪應(yīng)力 的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力 =0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。 注意： 面力變換公式： 與坐標(biāo)系的選取有關(guān)， 因此，適當(dāng)選取坐標(biāo)系，可使面力表達(dá)式簡單。 3. 應(yīng)力函數(shù) 求解方法 ),( yx?(228) （無體力情形） 3. 應(yīng)力函數(shù) 求解方法 ),( yx?（ 1） 逆解法 （ 1） 根據(jù)問題的條件 （幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等）， 假設(shè)各種滿足相容方程（ 227）的 φ(x,y) 的形式； （ 2） —— 主要適用于簡單邊界條件的問題。） 按應(yīng)力求解平面問題的基本步驟： （ 1） (227) （ 2） 然后將 代入式（ 226）求出應(yīng)力分量： 先由方程（ 227）求出應(yīng)力函數(shù)： (226) （ 3） 再讓