【正文】 取下側(cè)，則法向量若 n? )2( ?),( yxzz ?? ：若)1,( yx zzn ?????? 朝上取上側(cè)，則法向量若 n? )1( ?)1,( ???? yx zzn?),( zyxx ?? ：若),1( zy xxn ?????? 朝前取前側(cè)，則法向量若 n? )1( ?朝后取后側(cè)，則法向量若 n? )2( ? ),1( zy xxn ?????),( xzyy ?? ：若),1,( zx yyn ????? 朝左取左側(cè)，則法向量若 n? )1( ?朝右取右側(cè)，則法向量若 n? )2( ? ),1,( zx yyn ??????其方向 用法向量指向 表示 : 方向余弦 ?cos ?cos ?cos 0 為前側(cè) 0 為后側(cè) 封閉曲面 0 為右側(cè) 0 為左側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè) 外側(cè) 內(nèi)側(cè) ? 設(shè) ? 為有向曲面 , ,)( yxS?S??? yxS )(側(cè)的規(guī)定 ? 指定了側(cè)的曲面叫 有向曲面 , 其面元 在 xOy 面上的投影記為 的面積為 則規(guī)定 ,)( yx??,)( yx???,0時(shí)當(dāng) 0c os ??時(shí)當(dāng) 0c os ??時(shí)當(dāng) 0c os ??類似可規(guī)定 zxyz SS )(,)( ??流向曲面一側(cè)的 流量 . 流量 實(shí)例 (斜柱體體積 ) (1) 流速場(chǎng)為 常向量 ,v? 有向 平面 區(qū)域 ?, 求單位時(shí)間流過 ?的流體的質(zhì)量 ? (假定密度為 1). 二、 概念引入 n v?SS?分析 : 若 ? 是 面積為 S 的平面 , 則 流量 單位法向量 : 流速為常向量 : n v(2) 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ???? ),(),(),(),( ???給出 , 函數(shù) ),(),(),( zyxRzyxQzyxP上連續(xù)，都在 ? 流體的密度與速度均不隨時(shí)間而變化 (假定密度為 1) 的速度場(chǎng)由 v?當(dāng) 不是常量 , 有向? 曲面 求在單位 時(shí)間內(nèi)流向 ? 指定側(cè)的 流體的質(zhì)量 .?? 是速度場(chǎng)中的一片 有向曲面 , ?xyzoiS?iv?in? 分割 則該點(diǎn)流速為 ， iv?法向量為 .in??),( iii ???iSn ?? 小塊分成把曲面 同時(shí)也代表iS?(),小塊曲面的面積第 i 上任取一點(diǎn)在 iS?),( iii ???),( iiii vv ????? ?kRjQiP iiiiiiiii ??? ),(),(),( ????????? ?????? i求和 ??????niiii Snv1??取近似 該點(diǎn)處曲面 Σ的 單位 法向量 似值為流向指定側(cè)的流量的近通過 iS?i i iv n S??).,2,1( ni ??通過 Σ流向指定側(cè)的流量 c o s c o s c o si i i in i j k? ? ?? ? ??對(duì)一般的 有向曲面 ? , 用 “ 分割、求和、取極限 ” ??ni 10lim????0lim?? ???ni 1? iiiiP ???? c os),(iiiiR ???? c os),(?0lim?????ni 1iiiiQ ???? c os),(?? iS?對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的 速度場(chǎng) 進(jìn)行分析可得 in iviii Snv ??)c os,c os,( c os iiiin ????設(shè)?, 則 定義 : 設(shè)Σ 為光滑的有向曲面 , 函數(shù)在Σ 上有界 , 把Σ 分成 n 塊小曲面iS?(iS?同時(shí)又表示第 i 塊小曲面的面積 ),iS?在 xoy 面上的投影為xyiS )( ?, ),( iii ??? 是 iS? 上任意取定的一點(diǎn) , 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值 0?? 時(shí) , 三、第二類曲面積分的定義及性質(zhì) 存在????nixyiiii SR10))(,(l i m ????則稱此極限為 函數(shù) 在有向曲面 Σ上 對(duì)坐標(biāo) 的曲面積分 （也稱 第二類曲面積分） ),( zyxRyx,記作 ???dxdyzyxR ),( , 即 ????????nixyiiii SRd x d yzyxR10))(,(l i m),( ????被積函數(shù) 積分曲面 類似可定義 ????????niyziiii SPd y d zzyxP10))(,(lim),( ????????????nizxiiii SQd z d xzyxQ10))(,(lim),( ????ds??co s即是可正可負(fù)的注意定向投影面上的投影，在定向曲面微元xoyds存在條件 : 當(dāng) ),(),(),( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲面 Σ 上連續(xù)時(shí) , 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分存在 .組合形式 : d x d yzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),(),(),( ?????物理意義 :表示流向 Σ 指定的流量 d xd yzyxRd z dxzyxQd y d zzyxP ),(),(),( ???? ???若記 ? 正側(cè)的單位法向量為 令 )c os,c os,c os( ????n)dd,dd,d(ddd yxxzzySnS ?