【正文】 M0, 在(0, 1]中總可以找到點(diǎn)xk, 使y(xk)M. 例如當(dāng)(k=0, 1, 2, )時, 有, 當(dāng)k充分大時, y(xk)M. 當(dāng)x174。 解 因為, 所以. (2)。 解 . (12)。 (2). 證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當(dāng)x174。, 1)和(1, +165。0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當(dāng)x206。)內(nèi)除點(diǎn)x=2和x=3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(165。, +165。)內(nèi)有界. 證明 令, 則對于給定的e0, 存在X0, 只要|x|X, 就有 |f(x)A|e , 即Aef(x)A+e . 又由于f(x)在閉區(qū)間[X, X]上連續(xù), 根據(jù)有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|163。 (4) f(cos x). 解 (1)由0163。2, ), 即函數(shù)f(cos x)的定義域為[], (n=0, 177。 (6). 解 (1)因為, 所以. (2) . (3) . (4) (提示: 用等價無窮小換). (5), 因為 , , 所以 . 提示: 求極限過程中作了變換ax1=t, bx1=u, cx1=v. (6), 因為 , , 所以 . 9. 設(shè), 要使f(x)在(165。, 同時有 222。 (5)。 (2) . 解 (1)因為 y(0)=0, , , 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因為 , , 而y162。 當(dāng)x0時, f(x)=x, f 162。 (8)。=(x2ln x cos x)162。 (10) y=lncos x. 解 (1) y162。 (8)。 (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 解 (1) y162。 (3) y=th(ln x)。 (6)。 (12). 解 (1), . (2) y162。162。=2xf 162。162。 (3) y=xln x 。l2y=0 . 解 y162。(x)存在, 求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2)。162。 (8)。 (2) y=sin2xsin(x2)。(cos2x)2cosx(sin x) =sin 2x[f 162。=n sinn1x(sin x)162。 (4)。 (6)。=(x2ln x)162。 (4) y=sin xcos x 。(0), 所以f 162。=sin x, , 故在點(diǎn)處, 切線方程為, 法線方程為. 12. 求曲線y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程. 解y162。(x0). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x4。0時, 稱L為斜漸近線. (1)證明: 直線L: y=kx+b為曲線y=f(x)的漸近線的充分必要條件是 , . (2)求曲線的斜漸近線. 證明 (1) 僅就x174。 (2)。tan 1, 即函數(shù)f(arctan x)的定義域為[0, tan 1]. (4) 由0163。 (C)f(x)是比x高階的無窮小。M, 從而有 , . 由介值定理推論, 在[x1, xn]上至少有一點(diǎn)x , 使 . 5. 證明: 若f(x)在(165。 (5)。2, , , 177。Z), 所以x=0和(k206。 (3)若a ~b, b~g, 則a~g(傳遞性). 證明 (1), 所以a ~a 。1時, 無窮小1x和(1)1x3, (2)是否同階？是否等價？ 解 (1)因為, 所以當(dāng)x174。 解 . (8)。 解 . (12)。, +165。x174。x174。3時為無窮小. (2)當(dāng)x185。x0). 9. 試給出x174。165。), x2k 174。N, 當(dāng)nN時, 有, 從而||un||a||163。165。1a。x163。 K1163。 (6). 解 (1)因為f(x)=(x)2[1(x)2]=x2(1x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(x)=3(x)2(x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因為f(x)=(x)(x1)(x+1)=x(x+1)(x1)=f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(x)=sin(x)cos(x)+1=sin xcos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x2)。 (2)y=x+ln x, (0, +165。 解 由|x3|163。(1, 1)200。A. (2)由(1)知f 1(f(A))201。x2, 必有f(x1)185。B) y206。A或x206。BC . 3. 設(shè)映射f : X 174。BC . 證明 因為 x206。 高等數(shù)學(xué)第六版上冊課后習(xí)題答案 第一章 習(xí)題11 1. 設(shè)A=(165。(A199。Y, A204。B) y206。f(A)且y206。f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)222。A. 另一方面, 對于任意的x206。(1, +165。1得函數(shù)的定義域D=[2, 4]. (8)。). 證明 (1)對于任意的x1, x2206。 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x。f(x)163。(2n+1)p (n=0, 177。 當(dāng)時, 無解. 因此當(dāng)時函數(shù)的定義域為[a, 1a], 當(dāng)時函數(shù)無意義. 18. 設(shè), g(x)=ex , 求f[g(x)]和g[f(x)], 并作出這兩個函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40176。時, 174。|una|e . 這就證明了. 數(shù)列{|xn|}有極限, 但數(shù)列{xn}未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設(shè)數(shù)列{xn}有界, 又, 證明: . 證明 因為數(shù)列{xn}有界, 所以存在M, 使n206。a(k 174。時, , 問X等于多少, 使當(dāng)|x|X時, |y1|? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當(dāng)x174。165。0時. 因為e0, $d=e , 當(dāng)0|x0|d時, 有, 所以當(dāng)x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒|f(x)A|e. x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0|xx0|d時, 有恒f(x)M.x174。)內(nèi)總能找到這樣的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 當(dāng)k充分大時, 就有| y(2kp)|M. 當(dāng)x174。 解 . (13)。 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9)。1時, 1x和1x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小. (2)因為, 所以當(dāng)x174。 (2) 若a ~b, 則, 從而. 因此b~a 。Z) 是第一類間斷點(diǎn)且是可去間斷點(diǎn). 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的。n, , 處是間斷的,且這些點(diǎn)是函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù)。 (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因為 , , 所以. (6) . 5. 設(shè)函數(shù), 應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)a, 使得f(x)成為在(165。, +165。 (D)f(x)是比x低階的無窮小. 解 因為 (令2x1=t, 3x1=u) .所以f(x)與x同階但非等價無窮小, 故應(yīng)選B. 3. 設(shè)f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex)。 cos x163。 (3)。165。 (2)。=ex, y162。(0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f 162。 (5) y=x2ln x 。=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y162。 (7) y=tan(x2)。 (5)。cos nx+sinnx(sin nx)(nx)162。(sin2x) f 162。 (3)。 (9) y=(1+x2)arctan x 。=2sec x(sec x)162。 (2) y=ln[f(x)] . 解 (1)y162。=C1lelxC2lelx, y162。 (4) y=xex . 解 (1) y162。=C1l2elx+C2l2elx. y162。(x2)(x2)162。162。 (11)。 (5)。 (2) y=sh xech x。0, 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 10. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2)。 (7)。 (9) y=(arcsin x)2。=3excos x+3ex(sin x)=3ex(cos xsin x). (7). (8). (9) y162。 (7)。(x)=cos x 。=2x, 割線斜率為. 令2x=4, 得x=2. 因此拋物線y=x2上點(diǎn)(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性: (1)y=|sin x|。 (4)。222。 (5)(a0, b0, c0)。1, 177。 (3) f(arctan x)。, +165。)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(165。, +165。 解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn). (4), x =1. 解 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點(diǎn), 判別其類型. 解 . 在分段點(diǎn)x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 在分段點(diǎn)x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點(diǎn). 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)且f(x0)185。 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2]內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(165。0時, 有: (1) arctan x~x。 解 . (11)。 解 . 2. 計算下列極限: (1)。 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為M0, 找不到這樣一個時刻N(yùn), 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 對任何大的N, 當(dāng)k充分大時, 總有, 但|y(x)|=0M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1]上無界, 但這函數(shù)不是當(dāng)x174。x0e0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒|f(x)A|e. M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒|f(x)|M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒f(x)M.M0, $d0, 使當(dāng)0x0xd時, 有恒f(x)M.x17