【正文】 (4) 充分必要. 2. 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論: 設f(x)=2x+3x2, 則當x174。 (D)f(x)是比x低階的無窮小. 解 因為 (令2x1=t, 3x1=u) .所以f(x)與x同階但非等價無窮小, 故應選B. 3. 設f(x)的定義域是[0, 1], 求下列函數(shù)的定義域: (1) f(ex)。ex163。 ln x163。 arctan x 163。 cos x163。1, 177。0, 所以g[g(x)]=0。0, 所以g[f(x)]=f 2(x). 5. 利用y=sin x的圖形作出下列函數(shù)的圖形: (1)y=|sin x|。 (3)。, +165。165。165。165。. 充分性: 如果, , 則 , 因此y=kx+b是曲線y=f(x)的漸近線. (2)因為, , 所以曲線的斜漸近線為y=2x+1. 習題21 1. 設物體繞定軸旋轉(zhuǎn), 在時間間隔[0, t]內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為q, 從而轉(zhuǎn)角q是t的函數(shù): q=q(t). 如果旋轉(zhuǎn)是勻速的, 那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度, 如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的, 應怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？ 解 在時間間隔[t0, t0+Dt]內(nèi)的平均角速度為 , 故t0時刻的角速度為 . 2. 當物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時, 物體就不斷冷卻, 若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關系為T=T(t), 應怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？ 解 物體在時間間隔[t0, t0+Dt]內(nèi), 溫度的改變量為 DT=T(t+Dt)T(t), 平均冷卻速度為 , 故物體在時刻t的冷卻速度為 . 3. 設某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費的成本是f(x)元, 此函數(shù)f(x)稱為成本函數(shù), 成本函數(shù)f(x)的導數(shù)f162。=sin x. 解 . 6. 下列各題中均假定f 162。 解 . (3). 解 =f 162。 (2)。 (6)。=4x41=4x3 . (2). (3)y162。(0)=0, 即f 162。=ex, y162。(0)185。(0)及f162。(0)=, 而f162。(0)不存在. 17. 已知f(x)=, 求f 162。(x)=1。(0)=1, 從而 f 162。=csc xcot x . 解 . . 2. 求下列函數(shù)的導數(shù): (1)。 (5) y=x2ln x 。 (9) y=x2ln x cos x 。=15x22x ln2+3ex. (3) y162。=(sin x)162。=2xln x+x2=x(2ln x+1) . (6) y162。=2xln x cos x+x2cos x+x2 ln x(sin x) 2x ln x cos x+x cos xx2 ln x sin x . (10). 3. 求下列函數(shù)在給定點處的導數(shù): (1) y=sin xcos x , 求和. (2),求. (3), 求f 162。 (2)該物體達到最高點的時刻. 解 (1)v(t)=s162。 (3)。 (7) y=tan(x2)。=4(2x+5)41(2x+5)162。=2sin x(sin x)162。. (10). 7. 求下列函數(shù)的導數(shù): (1) y=arcsin(12x)。 (5)。 (9) y=ln(sec x+tan x)。 (4)。 (8) y=ln[ln(ln x)] 。cos nx+sinnx(sin nx)(nx)162。=f 162。(x2). (2) y162。(cos2x)(cos2x)162。(sin2x) f 162。 (4) y=sh3x +ch2x 。 (8) y=arctan(th x)。=sh(sh x)ch x . (2) y162。 (3)。 (7)。=ex(x22x+3)+ex(2x2) =ex(x2+4x5). (2) y162。 (4) y=et sin t。 (9) y=(1+x2)arctan x 。=e2x1 2=2e2x1, y162。=cos xxsin x, y162。162。=2sec x(sec x)162。(2)=? 解f 162。162。162。 (2) y=ln[f(x)] . 解 (1)y162。(x2), y162。162。(x2). (2), . 4. 試從導出: (1)。=C1lelxC2lelx, y162。l2y=(C1l2elx+C2l2elx)l2(C1elx+C2elx) =(C1l2elx+C2l2elx)(C1l2elx+C2l2elx)=0 . 7. 驗證函數(shù)y=exsin x滿足關系式: y162。=exsin x+excos x=ex(sin x+cos x), y162。2y162。 (4) y=xex . 解 (1) y162。 (2) y=sin2x 。=ex(sin x+cos x)+ex(cos xsin x)=2excos x . y162。2y162。=C1l2elx+C2l2elx. y162。162。(x2)+4x2f 162。=2f 162。(x2)(x2)162。162。(x)=120(x+10)3, f 162。162。162。=sec2 x, y162。=sin xsin xxcos x=2sin xxcos x . (4) y162。=2e2x1 2=4e2x1. (3) y=xcos x 。 (11)。 (6) y=ln(1x2) (7) y=tan x。 (2) y=e2x1。 (9) 。 (5)。=3sh2xch x+2ch xsh x =sh xch x(3sh x+2) . (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 12. 求下列函數(shù)的導數(shù): (1) y=ex(x22x+3)。 (10) 解 (1) y162。 (6) y=arch(x2+1)。 (2) y=sh xech x。(sin2x)2sin xcos x+f 162。(sin2x)(sin2x)162。= f 162。0, 試求函數(shù)的導數(shù). 解 . 10. 設f(x)可導, 求下列函數(shù)y的導數(shù): (1) y=f(x2)。 (10). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) y162。 (6)。 (2)。 (7)。 (3)。=sec2(x2)(x2)162。=sin(43x)(43x)162。 (9) y=(arcsin x)2。 (5) y=sin2x 。=2cos x+2x, y162。(2) . 解 (1)y162。=3excos x+3ex(sin x)=3ex(cos xsin x). (7). (8). (9) y162。 =cos xcos x+sin x(sin x)=cos 2x. (5) y162。=2sec2x+sec xtan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y162。 解 (1) . (2) y162。 (7)。 (3) y=2tan x+sec x1。=csc2x 。(0)=, f+162。(x)=cos x 。f+162。(0)是否存在？ 解 因為 f162。+(0), 所以函數(shù)在x=0處不可導. 解 因為, 又y(0)=0, 所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因為 , 所以函數(shù)在點x=0處可導, 且y162。=2x, 割線斜率為. 令2x=4, 得x=2. 因此拋物線y=x2上點(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導性: (1)y=|sin x|。=cos x, 所以斜率分別為 , . 11. 求曲線y=cos x上點處的切線方程和法線方程式. 解y162。=. 61= 0. 6. (4). (5). (6). (7). 8. 已知物體的運動規(guī)律為s=t3(m). 求這物體在t=2秒(s)時的速度. 解v=(s)162。 解 (1)y162。 (4)。(x0)]=2f 162。 解 . (2), 其中f(0)=0, 且f 162。(x)的實際意義. 解 f(x+Dx)f(x)表示當產(chǎn)量由x改變到x+Dx時成本的改變量. 表示當產(chǎn)量由x改變到x+Dx時單位產(chǎn)量的成本. 表示當產(chǎn)量為x時單位產(chǎn)量的成本. 4. 設f(x)=10x2, 試按定義, 求f 162。222。0, 則稱L為曲線y=f(x)的漸近線. 當直線L的斜率k185。+165。, +165。 (5)(a0, b0, c0)。 (3). 6. 把半徑為R的一圓形鐵片, 自中心處剪去中心角為a的一扇形后圍成一無底圓錐. 試將這圓錐的體積表為a的函數(shù). 解 設圍成的圓錐的底半徑為r, 高為h, 依題意有 R(2pa)=2pr , , . 圓錐的體積為 (0a2p). 7. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明. 證明 對于任意給定的e0, 要使, 只需|x3|e, 取d=e, 當0|x3|d時, 就有|x3|e, 即, 所以. 8. 求下列極限: (1)。0, 所以f[g(x)]=0。0, 所以f[f(x)]=f(x)。1, 177。x163。x163。0, 即函數(shù)f(ex)的定義域為(165。 (3) f(arctan x)。 (B)f(x)與x同階但非等價無窮小。, +165。N, x206。, +165。f(xi)163。(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在[a, b]上連續(xù), ax1x2 xnb, 則在[x1, xn]上至少有一點x , 使 . 證明 顯然f(x)在[x1, xn]上也連續(xù). 設M和m分別是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因為xi206。 若f(a+b)0, 則f(0)f(a+b)0, 由零點定理, 至少存在一點x206。)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(165。 (4)。 (6)。 (2)。, +165。1, 177。1, 177。時f(x)0, 從而當x206。 解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點. 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點. (4), x =1. 解 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點. 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點, 判別其類型. 解 . 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)185。 因為, (k206。Z)和(k206。 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點, 并且是可去間斷點. 在x=1處, 令y=2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, 177。 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在[0, 1)和(1, 2]內(nèi)是連續(xù)的. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在[0, 2]上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=1和x=1處的連續(xù)性. 在x=1處, 因為f(1)