【正文】 側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所圍的立體由Gass公式得:I=242。199。242。SDxy11x003dy＝242。Ql1l2 , 即 4lxy=6(l1)x,l=3, =182。202p02rdr ＝4pln2 ＃ 4r2222217. 計算I=242。)yzdydz+xzdxdz+(x+y+z)dxdy 229。[bsint(asint)acost(bcost)]dt p0=ab242。P=2182。4。242。(y+x)dx+(yx)dy242。242。247。242。dxdy=36p, I=38p ＃ S1DxyDxy27．計算曲線積分(x+xy)dx+(x+y)dy，其中L是區(qū)域0≤x≤1， l3220≤y≤1的邊界正向。242。P182。S2Zy=XOY平面上的投影為1163。Q182。242。(x,y)，則一個原函數(shù)為U(x,y)= x242。(4y+y)dy ()223310211233。x可知該曲線積分與路徑無關(guān)。y182。+229。242。z163。Lxcosydx+ysinxdy=242。242。=242。, 而 242。232。242。0), 222x+yx+y182。242。0的兩個卦限 ＃ 0623. 計算曲面積分I=1222，其中是旋轉(zhuǎn)拋物面(z+x)dydz+zdxdyz=(x+y)介于S242。242。x=acost，取順時針方向，求242。242。3I={22}Dxy242。(x+4xyl)dx+(6xl1y22y)dy在XoY平面上與路徑無關(guān)。dS=242。(3y20)dydz+(3z20)dxdz+(3x20)dxdy229。AMO199。解：利用高斯公式，所求積分等于11=(1+2+3)dxdydz6209。2aOA174。1}。y2dxdy=182。4edq＋242。 2 第十章 曲線積分與曲面積分參考答案三、計算題 1．L242。(x2+y2+z2)ds229。242。sinydxf(x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)有一階連續(xù)偏導L數(shù)，且f(0)=0，則f(x)= B 2(exex) B. 12(exex) C. 12(ex+ex) 2．閉曲線C為x+y=1的正向，則209。1，則242。zds=4242。9. 光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影區(qū)域為D，則曲面z=f（x，y）的面積是S=242。x163。p所圍閉區(qū)域D的正向邊界。0393．ydx+xdy，其中L為圓周x+y=R的上半部分，L的方向為逆時針。解：添加從原點到點A的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D，利用格林公式P=(exsinymy)，Q=excosym，于是(esinymy)dx+(ecosym)dy＋L182。y=cos2239。242。=242。Lzdx+xdy+ydz=3333332xdxdy=3dqrcosqdr=p ＃ 242。103(1x)dx= ＃ 22214. 計算曲線積分242。y182。242。1=242。dtp0＃19=+(z22z)dxdy，其中S為錐面z=與z=1所圍的整個曲面的外側(cè)。x182。取上側(cè)，S與S1構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所圍的閉域為W，S1對應(yīng)的Dxy為：x+y163。242。221+xdx=2p+2arctan2 ＃ 21+x25．用高斯公式計算22xydxdy+yzxdydz+=1及平面，其中柱面S:y()()x209。(rsinqz)rdrdqdzWW=242。4248。242。解：利用Green公式1322l1(x+xy)dx+(x+y)dy=242。242。Q=2f(x)+e2x,=f162。x2+y163。R++=3，由高斯公式 182。3dxdydzWx2+2163。(x,y)(0,0)(exsinymy)dx+(excosymx)dy(x,y)(0,x)=242。214249。y182。Q， =excosym=182。229。1的部分的下2x+zdydz+zdxdyy()x242。2y=e2x，解得y=e2x(x+c)，（2分）代入條件f(0)=1得C=1 從而有y=e2x(x+1) ＃3計算對面積的曲面積分解:Zx=2ds, S: z=其中1163。(0,p) dy=2dx242。242。242。242。dr 02248。z原式=242。Q2解：P=2,Q=2,==,(x+y2185。242。0，y179。zdz002p11 r=p2.＃x2y220．計算曲線積分I=209。133236。1209。z