【正文】 10 考點(diǎn) 10. 統(tǒng)計概率綜合題： 例 23． （ 2022 重慶） 在 “傳箴言 ”活動中，某班團(tuán)支部對該班全體團(tuán)員在一個月內(nèi)所發(fā)箴言條數(shù)的情況進(jìn)行 了統(tǒng)計，并制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖： （ 1）求該班團(tuán)員在這一個月內(nèi)所發(fā)箴言的平均條數(shù)是多少？并將該條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整； （ 2）如果發(fā)了 3 條箴言的同學(xué)中有兩位男同學(xué)，發(fā)了 4 條箴言的同學(xué)中有三位女同學(xué)．現(xiàn)要從發(fā)了 3 條箴言和 4 條箴言的同學(xué)中分別選出一位參加該校團(tuán)委組織的 “傳箴言 ”活動總結(jié)會，請你用列表法或畫樹狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率． 、 例 24．（ 2022 福建莆田） 在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標(biāo) 有數(shù)字 1,2,3,4 的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同。 1 概率與統(tǒng)計 【知識要點(diǎn)】 1 數(shù)據(jù)的收集與處理 ⑴ 通過調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程一般有下列六步：明確調(diào)查問題、確定調(diào)查對象、選擇調(diào)查方法、展開調(diào)查、記錄結(jié)果、得出結(jié)論． ⑵ 條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖是三種最常用的統(tǒng)計圖．這三種統(tǒng)計圖各具特點(diǎn)：條形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量特征；折線統(tǒng)計圖可以直觀地反映出數(shù)據(jù)的數(shù)量變化規(guī)律；扇形統(tǒng)計圖可以直觀地反映出各部分?jǐn)?shù)量在總量中所占的份額． ⑶ 我們把所要考察的對象的全體叫做總體，把組成總體的每一個考察對象叫做個體．從總體中取出的一部分個體叫做總體的一個樣本． 樣本中包含的個體的個數(shù)叫做樣本容量． ⑷ 普查是通過調(diào)查總體的方式來收集數(shù)據(jù)的，抽樣調(diào)查是通過調(diào)查樣本方式來收集數(shù)據(jù)的． ⑸ 用抽簽的辦法決定哪些個體進(jìn)入樣本．統(tǒng)計學(xué)家們稱這種理想的抽樣方法為簡單的隨機(jī)抽樣． ⑹ 在記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時，每個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù)．每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值 (或者百分比 )稱為頻率． ⑺ 繪制頻數(shù)分布直方圖的步驟是： ① 計算最大值與最小值的差； ② 決定組距和組數(shù)； ③ 決定分點(diǎn)； ④ 畫頻數(shù)分布表； ⑤ 畫出頻數(shù)分布直方圖． 2 數(shù)據(jù)的代表 ⑻ 在一組數(shù)據(jù)中，用數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的總個數(shù)就得到這組數(shù) 據(jù)的平均數(shù)． ⑼ 將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，位于正中間位置的數(shù)（或正中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)． ⑽ 在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)頻數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． ⑾ 在一組數(shù)據(jù)中，各個數(shù)在總結(jié)果中所占的百分比稱為這個數(shù)的權(quán)重，每個數(shù)乘以它相應(yīng)的權(quán)重后所得的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù)． ⑿ 一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得差稱為極差． ⒀ 方差：我們可以用 “先平均，再求差，然后平方，最后再平均 ”得到的結(jié)果表示一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況 ， 這個結(jié)果通常稱為方差 ． 計算方差公式：設(shè)一組數(shù)據(jù)是 是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) .則這組數(shù)據(jù)的方差是： ⒁ 標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)的方差的算 術(shù)平方根，叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 ． 用公式可表示為： 3 可能性與概率 ⒂ 那些無需通過實(shí)驗(yàn)就能夠預(yù)先確定他們在每一次實(shí)驗(yàn)中都一定會發(fā)生的事件稱為必然事件 ． 那些在每一次實(shí)驗(yàn)中都一定不會發(fā)生的事件稱為不可 能事件 ． 必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為確定事件 ． ⒃ 無法預(yù)先確定在一次實(shí)驗(yàn)中會不會發(fā)生的事件稱為不確定事件或隨機(jī)事件 ． ⒄ 表示一個事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)，叫做該事件的概率 ． ⒅ 概率的理論計算有 ： ① 樹狀圖； ② 列表法 ． 4 知識脈絡(luò)圖 考點(diǎn) 1..頻數(shù)和頻率： 例 1． （ 2022 湖南衡陽） 從 n 個蘋果和 3 個雪梨中，任選 1 個，若選中蘋果的概率是 12，則 n 的值是 （） A． 6 B． 3 C． 2 D． 1 2 例 2．（ 2022 廣西梧州） 為了估計水塘中的魚數(shù)，養(yǎng)魚者首先從魚塘中捕獲 30 條魚，在每條魚身上 做好記號后，把這些魚放歸魚塘，再從魚塘中打撈 200 條魚，如果在這 200 條魚中有 5 條魚是有記號的，則魚塘中魚的可估計為（ ） A． 3000 條 B． 2200 條 C． 1200 條 D． 600 條 【 舉一反三 】 1． （ 2022 年山西） 在一個不透明的袋中，裝有若干個除顏色不同外其余都相同的球，如果袋中有 3 個紅球且摸到紅球的概率為 41 ，那么袋中球的總個數(shù)為 （ ） A． 15 個 B． 12 個 C． 9 個 D． 3 個 2． （ 2022 遼寧本溪） 一個不透明的布 袋中，裝有紅、黃、白三種只有顏色不同的小球，其中紅色小球有 8 個，黃、白色小球的數(shù)目相 .為估計袋中黃色小球的數(shù)目，每次將袋中小球攪勻后摸出一個小球記下顏色，再次攪勻 …… 多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率是 16，則估計黃色小球的數(shù)目是（ ） A． 2 個 B． 20 個 C． 40 個 D． 48 個 3．（ 2022 山東德州） 為了了解某校九年級學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了其中 50 名學(xué)生，測試 1 分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），進(jìn)行整理后繪制成如圖所示的頻數(shù)分布直方圖（ 注： 15~20 包括 15，不包括 20，以下同 ），請根據(jù)統(tǒng)計圖計算成績在 20~30 次的頻率是（ A） （ B） （ C） （ D） 4.（ 2022 年臺灣?。?自連續(xù)正整數(shù) 10~99 中選出一個數(shù)，其中每個數(shù)被選出的機(jī)會相等。（如果指針恰好在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗? （ 1）這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎 ?說說你的理由； （ 2）請你設(shè)計一個對雙方都公平的游戲規(guī)則?，F(xiàn)從中任取一支粉筆是紅色粉筆的概率是 _____。12＝ 13． 26 答：所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率為 13． 10． （ 2022 江西， 18， 6 分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)進(jìn)行一次乒乓球單打比賽，要從中選出兩位同學(xué)打第一場比賽， ⑴ 請用樹狀圖法或列表法，求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率； ⑵ 若已確定甲打第一場，再從其余三位同學(xué)中隨機(jī)選取一位，求恰好選中乙同學(xué)的概 率。 C．某彩票中獎率為 0036 ，說明買 100 張彩票，有 36 張中獎。 （ 1）試寫出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式。 （ 2）商場規(guī)定月銷售額達(dá)到或超過 25 萬元為 A 級，低于 19 萬元為 C 級，其他為 B 級，為了使商場負(fù)責(zé) 人對各等級人數(shù)比例情況一目了然，請作出扇形統(tǒng)計圖。 例 25．（ 2022 福建寧德） 如圖 1，拋物線 34141 2 ???? xxy 與 x 軸交于 A、 C 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 B 點(diǎn)，與直線 bkxy ?? 交于 A、 D 兩點(diǎn)。一 ”假期，某公司組織部分員工分別到 A、 B、 C、 D 四地旅游，公司按定額購買了前往各地的車票 .下圖是未制作完的車票種類和數(shù)量的條形統(tǒng)計圖，根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題： （ 1）若去 D 地的車票占全部車票的 10%，請求出 D 地車票的數(shù)量，并補(bǔ)全統(tǒng)計圖； （ 2）若公司采用隨機(jī)抽取的方式分發(fā)車票，每人抽取一張（所有車票的形狀、大小、質(zhì)地完全相同且充分洗勻），那么員工小胡抽到去 A 地的概率是多少？ （ 3）若有一張車票，小王、小李都想要，決定采取拋擲一枚各面分別標(biāo)有 1,2,3,4 的正四面體骰子的方法來確定，具體規(guī)則是：“每人各拋擲一次，若小王擲得著地一面的數(shù)字比小李擲得 著地一面的數(shù)字小，車票給小王，否則給小李 ”.試用 “列表法或畫樹狀圖 ”的方法分析，這個規(guī)則對雙方是否公平？ 【答案】解：（ 1）設(shè) D 地車票有 x 張，則 x＝（ x+20+40+30） 10% 解得 x＝ 10. 即 D 地車票有 10 張 . （ 2） 小胡抽到去 A 地的概率為 2020 40 30 10? ? ?＝ 15. （ 3）以列表法說明 小李擲得數(shù)字 小王擲 得數(shù)字 1 2 3 4 1 （ 1， 1） （ 1， 2） （ 1， 3） （ 1， 4） 2 （ 2， 1） （ 2， 2） （ 2， 3） （ 2， 4） 3 （ 3， 1） （ 3， 2） （ 3， 3） （ 3， 4） 4 （ 4， 1） （ 4， 2） （ 4， 3） （ 4， 4） 或者畫樹狀圖法說明（如右上圖） 由此可知，共有 16 種等可能結(jié)果 .其中小王擲得數(shù)字比小李擲得數(shù)字小的有 6 種：（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 3， 4） . ∴ 小王擲得數(shù)字比小李擲得數(shù)字小的概率為 616＝ 38. 則小王擲得數(shù)字不小于小李擲得數(shù) 字的概率為 318?＝ 58. 所以這個 規(guī)則對雙方不公平 . D40302010yxCBAO 23 5. （ 2022 四川南充市， 16， 6 分） 在一個不透明的口袋中裝有 4 張相同的紙牌，它們分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 紙牌然后放回，在隨機(jī)摸取出一張紙牌 . （ 1）計算兩次摸取紙牌上數(shù)字之和為 5 的概率； （ 2）甲、乙兩個人進(jìn)行游戲，如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為奇數(shù)，則甲勝；如果兩次摸出紙牌上數(shù)字之和為偶數(shù)，則乙勝。所以紅球數(shù)為 100 40 40??％ 。 課改）現(xiàn)有 A、 B 兩枚均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標(biāo)有數(shù)字 1， 2， 3， 4， 5， 6） .用小莉擲 A 立方體朝上的數(shù)字為 x 、小明擲 B 立方體朝上的數(shù)字為 y 來確定點(diǎn) P（ xy， ），那么它們各擲一次所確定的點(diǎn) P 落在已知拋物線2 4y x x?? ? 上的概 率為（ ） A. 118 B. 112 2． （ 2022 四川 瀘州 ） (本題滿分 8 分 )已知在一個不透明的口袋中有 4 個形狀、大小、材質(zhì)完全相同的球，其中 1 個紅色球， 3 個黃色球 . (1) 從口袋中隨機(jī)取出一個球 (不放回 ),接著再取出一個球 ,請用樹形圖或列表的方法求取出的兩個 都是黃色球的概率 。成績標(biāo)準(zhǔn)差。為了解學(xué)生參加戶外活動的情況，對部分學(xué)生參加戶外活動的時間進(jìn)行抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪 制作成如下 兩幅不完整的 統(tǒng)計圖， 請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題： （ 1）在這次調(diào)查中共調(diào)查了多少名學(xué)生？ （ 2）求戶外活動時間為 小時的人數(shù)，并補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖； （ 3） 求表示 戶外 活動時間 1 小時的扇形圓心角的度數(shù)； （ 4）本次調(diào)查中學(xué)生參加戶外活動的平均時間是否符合要求？戶外 活動時間的眾數(shù)和中位數(shù)是多少 。已知每支簽被抽中的機(jī)會均相等，自此筒中抽出一支簽，則抽中紅簽的機(jī)率為何？ 14 A. 13 B. 12 C. 35 D. 25 【答案】 D 12. （ 2022 臺灣 全區(qū)， 23） 一簽筒內(nèi)有四支簽，分別標(biāo)記號碼 4．已知 小武 以每次取一支且取 后不放回的方式，取兩支簽，若每一種結(jié)果發(fā)生的機(jī)會都相同，則這兩支簽的號碼數(shù)總和是奇數(shù)的機(jī)率 為何？ A． 43 B． 32 C． 21 D． 31 【答案】 Ｂ 13. （ 2022 甘肅蘭州， 7， 4 分）一只盒子中有紅球 m 個，白球 8 個，黑球 n 個，每個球除顏色外都相同，從中任取一個球，取得白球的概率與不是白球的概率相同，那么 m 與 n 的關(guān)系是 A． m=3， n=5 B． m=n=4 C． m+n=4 D． m+n=8 【答案】 D 14. （ 2022 江蘇連云港， 6， 3 分）已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概 率為 12 ，下列說法正確的是 （ ） A．連續(xù)拋一枚均勻硬幣 2 次必有 1 次正面朝上 B．連續(xù)拋一枚均勻硬幣 10 次都可能正面朝上 C． 大量反復(fù)拋一枚均勻硬幣，平均每 100 次出現(xiàn)下面朝上 50 次 D． 通過拋一枚均勻硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的 【答案】 D 15. （ 2022 江蘇宿遷 ,6,3 分）如圖，將一個可以自由旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)盤等分成甲、乙、丙、丁四個扇形區(qū)域，若指針固定不變，轉(zhuǎn)動這個轉(zhuǎn)盤一次（如果指針指在等分線上，那么重新轉(zhuǎn) 動，直至指針指在某個扇形區(qū)域內(nèi)為止），則指針指在甲區(qū)域內(nèi)的概率是（ ▲） A． 1 B． 21 C． 31 D． 41 【答案】 D 16. （ 2022 廣東汕頭， 4， 3 分）在一個不透明的口袋中，裝有 5 個紅球 3 個白球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率為（ ） A． 15 B． 13 C． 58 D． 38 【答案】 Ｃ 17. （ 2022 山東聊城， 6， 3 分）下列事件屬于必然事件的是（ ） A．