【正文】 f(P) = (kx+c?[c/(1? k)])e1 +(ky+d?[b/(1? k)])e2 = k ((x?[c/(1? k)])e1 +(y? [d/(1? k)])e2) = kMP 即 f 是以 M為 位似中心 , 位似系數(shù) 為 k 的位似變換 . 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 變換矩陣的性質 在變換公式 () 和 () 中 , 變換矩陣 A = (aij) 是關鍵因素 . 已經(jīng)知道 仿射變換 f 在一個 仿射坐 標系 I 中的 變換矩陣 即為 I 到 f(I) 的過渡矩陣 , 下 面給出 變換矩陣的幾個重要性質 , 主要回答以下 兩個問題 : (1) 已知 兩個仿射變換 在一個 仿射坐標系 I 中的 變換矩陣 , 如何求它們的 乘積的變換矩陣 ? (2) 已知 仿射變換 f 在一個 仿射坐標系 I 中的 變 換矩陣 , 如何求 f 在另一個 仿射坐標系 II 中的 變 換矩陣 ? 上頁 下頁 結束 引理 設 I1和 I2是平面上的兩個仿射坐標系 , 它們分別被仿射變換 f 變?yōu)?II1和 II2, 則 I1到 I2的過渡矩陣 與 II1到 II2的過渡矩陣 相同 . I1 I2 II1 II2 f f A A A的列向量是 I2坐標向量 e1, e2的 I1坐標 過渡矩陣的列向量是 f(I2)坐標向量 f(e1), f(e2)的 f(I1)坐標 f(I1) = f(I2) = 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 1. 若仿射變換 f 把坐標系 I變成 II, 則 f 在 II中的變換矩陣 就是 f 在 I中的變換矩陣 . 變換矩陣的性質 I II II f(II) f f A A f(I) = = f(I) 上頁 下頁 結束 性質 2. 若仿射變換 f, g在仿射坐標系 I中的變換矩陣分別為 A, B, 則它們的乘積 g?f 在 I中的變換矩陣為 BA. I f(I) g(I) g(f(I)) A B A BA 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 3. 若 仿射變換 f 在仿射坐標系 I中的 變換矩陣 為 A, 則它的逆變換 f ?1在 I中的變換矩陣為 A?1. 性質 4. 設 仿射變換 f 在仿射坐標系 I中的變換矩陣為 A, I到仿射坐標系 II的 過渡矩陣 為 H, 則 f 在 II中的變換矩陣為 H?1AH. I f(I) II f(II) A H H?1AH H H?1 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 性質 4表明 : 同一個仿射變換 在 不同仿射坐標系 中的變換矩陣 相似 , 并且可用這兩個坐標系間的 過渡矩陣 實現(xiàn)這個相似關系 . 性質 5. 同一個仿射變換在不同仿射坐標系中的變換矩陣的 行列式相等 . 命題 仿射變換的 變積系數(shù) 等于它的 變換矩陣的行列式的絕對值 . 仿射變換的變換矩陣的行列式 有很強的 幾何意義 : 證明 : 設在 仿射坐標系 I: [O。 (2) 求 f 的變積系數(shù) 。 ? 而在 坐標變換 公式中 , (x, y), (x?, y?)是 同一個點 (或 向量 ) 在 不同坐標系 中的坐標 . 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 4. 對 仿射向量變換公式 的理解 : (1) 若知道 向量 或它的 像向量 中任一個坐標 , 可由公式求出另一個坐標 . (2) 若能求出 任意向量 及其 像向量 之間的 關系表達式 , 則其 矩陣表達式中的矩陣 即為 f 的變換矩陣 . 5. 給定 仿射變換 f 在 仿射坐標系 I 中的 變換公式 , 若已知某 圖形 ? 或它的 像 f(? )的方程 , 可 利用變換公式 求出 ? 的 像 f(? ) 或 ? 的方程 . 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 例 1 已知在仿射坐標系 I 中 , 仿射變換 f 的點變 換公式為 ???????????223534yxyyxx直線 l 的方程為 3x + y ? 1 = 0, 求 f(l) 的方程 . 解 : 方法 1. 根據(jù)題設變換公式反解得 ???????????????23431632yxyyxx代入 l 的方程得 3(?2x? + 3y? ? 16) + (?3x? + 4y? ?23) ?1 = 0. 整理得 9x? ? 13y? + 72 = 0 . 于是 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 方法 2. (待定系數(shù)法 ) 設 f(l) 的方程為 Ax + By + C = 0, 將題設變換公式代入得到 l 的方程為 A(4x ? 3y ? 5) + B(3x ? 2y + 2) + C = 0, 它與 3x + y ? 1 = 0 都是 l 的方程 , 于是 .1251 233 34 ? ???????? CBABABA從左式得 A : B = 9 : ?13, 右式得 A : C = 1 : 8. 取 A = 9, B = ?13, C = 72, 得 f(l) 的方程為 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 方法 3. 取 l 上一點 P1(0, 1) 和 l 的方向向量 u(1, ?3), 根據(jù)題設變換公式得 f(P1) 的坐標為 (?8, 0), 根據(jù)題設 , 向量變換公式為 ?????????yxyyxx2334得 f(u) 的坐標為 (13, 9), 于是 f(l) 的方程為 ,913 8 yx ??即 9x ? 13y + 72 = 0. 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 例 2 在仿射坐標系 I 中 , 仿射變換 f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 把直線 x + 2y = 0 變?yōu)? x + y + z = 0, 把點 (1, 1) 變?yōu)?(2, 3) , 求 f 在 I 中的 變換公式 . 解 : 方法 1. (待定系數(shù)法 ) 假設所求變換公式為 .??? ???? ????2222111211byaxaybyaxax因為 f 把直線 x + y ? 1 = 0 變?yōu)? 2x + y ? 2 = 0, 即 直線 2x + y ? 2 = 0 的原像是 x + y ? 1 = 0, 從而 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 2(a11x + a12y + b1) + (a21x + a22