用坐標法研究仿射變換-wenkub
2022-10-31 15:07:10 本頁面
【正文】 如果平面的一個 點變換 f 在一個 仿射坐標系中的公式為 (), 且其系數矩陣 A = (aij) 是 可逆矩陣 , 則 f 是仿射 (點 )變換 . 仿射變換的變換公式 上頁 下頁 結束 證明 : 設 f 是 仿射點變換 , I: [O。 e1, e2] 是平面 仿射坐標系 , 平面上任一點 P 在 I 中的坐標為 (x, y), P 在 f 下的像 f(P) 在 I 中的坐標為 (x?, y?). 記 II: [ f(O)。 e1, e2]中 , 仿射變換 f 的 變換矩陣 為 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 ,???????22211211aaaaA則 f(e1) ? f(e2) = (a11e1 + a21e2) ? (a12e1 + a22e2) = (a11a22 ?a12a21) e1 ? e2 = |A| e1 ? e2 , 所以 f 的變積系數 .|||||)()(| A eeefef ????2121?因 |e1 ? e2|, | f(e1) ? f(e2) | 分別是 I 和 f(I) 的兩個坐標向量所夾平行四邊形 ? 和 ? ? 的面積 , 且顯然 ? ? = f(? ), 變換矩陣的性質 上頁 下頁 結束 定義 : 平面的 仿射變換 f , 若它在仿射坐標系中的變換公式的系數矩陣 A的行列式 |A| 0, 則稱f 為 第一類的 。 (2) 求 f 的變積系數 。 e1, e2], 則 I 到 I? 的坐 標變換公式 為 ,~~???????00yyyxxx 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結束 設 f 在 I 中的變換公式為 ??????????????????? ??????????21bbyxyx????co ss ins inco s將 I 到 I? 的坐標變換公式 代入上式可得 ??????????????? ??????????????????? ?????????????????210000bbyxyxyxyx~~co ss ins inco s~~????因為 M0 (x0, y0)是 f 的不動點 , 故 ??????????????????? ????????210000bbyxyx????c o ss ins inc o s 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結束 將它代到上式中可得到 f 在 I? 中的 變換公式 為 ???????????? ??????????yxyx~~co ss ins inco s~~????因此 f 是繞 M0的 旋轉 , 轉角為 ? . 總結以上結果 , 得到 命題 平面上 第一類保距變換 或是 平移 , 或是 旋轉 . 保距變換的變換公式 上頁 下頁 結束 情形 2. 若 f 是 第二類 保距變換 , 則 |A| = ?1, 此時 A 有 兩個不相等的特征值 , 其乘積為 ?1. 設 ? 是 f 的 特征值 , e 是 f 的相應的 特征向量 , 則 f (e) = ?e . 又 f 是 保距變換 , e 和 f (e) 長度相等 , 于是由 | f (e)| = |?e| = |?| |e| 可得 |?| = 1, 這樣 f 的 特征值 為 1 和 ?1. 取直角坐標系 I: [O。 又 新坐標軸平行于特征向量 , 故坐標 向量 分別平行于 u = (1, 4)T, v = (1, 1)T, 21 e e ~,~,~,~ ve ue mk ?? 21,~)()()~( 11 33 euufufef ???? kkk設 ,~)()()~( 22 66 evvfvfef ???? mmm則 因此仿射變換 f 在新系中的變換矩陣 為 ,??????6003從而 f 在新系中的變換公式 為 .~~~~ ??? ?? ?? yy xx 63 仿射變換不動點特征向量 上頁 下頁 結束 定理 平面的 保距點變換 f 在一個 直角坐標系中的公式為 ????????????????????????????2122211211bbyxaaaayx(?) 其中系數矩陣 A = (aij) 是 正交矩陣 . 反之 , 如果平面的一個 點變換 f 在一個 直角坐標系 中的公式為 (?), 且其系數矩陣 A = (aij) 是 正交矩陣 , 則 f 是保距 (點 )變換 . 保距變換的變換公式 類似于仿射變換的變換公式 , 有如下定理 : 上頁 下頁 結束 設 f 是平面 ? 上的 保距變換 . 取 I: [O。 此時有 唯一實數 ?使得 f(u) = ?u, 稱?為 f 的一個 特征值 , 也稱 u為 f 的 屬于特征值 ?的特征向量 . 求法 : 設 f 在仿射坐標系 I中的 公式 為 ,????????????????????????????2122211211bbyxaaaayx變換矩陣 A 仿射變換不動點特征向量 ? 仿射變換的特征值和特征向量 上頁 下頁 結束 則非零向量 u(x0, y0)是 f 的屬于 特征值 ?的 特征向量 當且僅當 ???????00220210012021yyaxaxyaxa??當且僅當下面 齊次線性方程組有非零解 : ??????????0022211211yaxayaxa)()(??當且僅當行列式 022211211 ?????aaaa??稱為 f 的特征方程 或 ,)( 0????????yxAE?即 .)( 022112 ???? A?? aa() () 仿射變換不動點特征向量 上頁 下頁 結束 步驟 1. 求 特征值 , 即 特征方程的解 . 022112 ???? A?? )( aa步驟 2. 對每一 特征值 ? , 求齊次方程組 的 非零解 , 即為 f 的屬于 特征值 ?的 特征向量 . ??????????0022211211yaxayaxa)()(?? 或 0????????yx)( AE?
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