【正文】 , , )f x y z dvW蝌 ? 0 1lim ( , , )n i i i ii fvl x h z174。 （ 4） 為了把三重積分中的積分變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)，用三組坐標(biāo)面 r= 常數(shù)， j= 常數(shù)， q= 常數(shù)把積分區(qū)域 W分成許多小閉區(qū)域 .考慮 ,rjq各取得微小增量 ,drd djq所成的六面體的體積（ 見(jiàn)圖 16） .不計(jì)高階無(wú)窮小，可 把這六個(gè)面體看作長(zhǎng)方體，其經(jīng)線方向的長(zhǎng)為 rdj 緯線方向的寬為 sin ,rdjq，向徑方向的高為 dr ，于是得 圖 16 2 sindv r drd dj j q= ， 這就是球面坐標(biāo)體系中的體積元素，再注意到關(guān)系式（ 4），就有 ( , , )f x y z dxdydzW =蝌 ?2( , , ) s inF r r d rd dj q j j qW蝌 ? （ 5） 其中 ( , , ) ( c os si n , c os si n , c os ) .F r f r r rj q q j q q j= （ 5）式就是把三重積分的變量從直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)榍蛎孀鴺?biāo)的公式 . 例 4 求vI zdxdydz= 蝌 ?，其中 V 為由 2 2 22 2 2 1x y za b c+ + ?與 0z179。 ，取極限 . 例 1 計(jì)算反常積分 32 yxDx e dxdy 蝌 ，其中 : 0, .D y x y吵 （見(jiàn)圖 17） 解 被積函數(shù)非負(fù)，不妨用平行于 y 軸直線切取 32 yxDI x e dxdy = 蝌 3200limAx yxAd x x e d yee + 174。 于是 2 sinJ abcr j= .在上述廣義球坐標(biāo)變換下， V 的原象為 ( , , ) 0 1 , 0 , 0 22V x y z r pj q p禳镲镲162。239。 仍無(wú)法計(jì)算，再考慮利用定積分對(duì)積分變量的無(wú)關(guān)性，將積分向已知積分10()f x dx A=242。321 ()22xxdx=242。239。237。239。叫做積分和 . [4] 二重積分的性質(zhì) 線性性質(zhì) 設(shè) D 為平面內(nèi)有界閉區(qū)域， ( , )f xy ， ( , )gxy 在 D 內(nèi)可積 222。 重積分是研究曲面面積、旋轉(zhuǎn)體積、不等式證明、計(jì)算物體的質(zhì)量和解決一些生活實(shí)際問(wèn)題等方面的有力工具，它有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用范圍和非常重要的應(yīng)用價(jià)值。 2 二重積分的 對(duì)區(qū)域的可加性質(zhì) 4 三重積分的計(jì)算方法 在解題的過(guò)程中合理的選擇一種好的方法，就等于成功了一半，同時(shí)可以大大減少解題的時(shí)間，對(duì)拓展解題的思路是很有幫助的 。蝌 ( , )Dg x y ds蝌 特別的有 ( , )Df x y ds 163。239。239。239。 易于求解，因此積分次序應(yīng)該選為先 x 后 y，即 2D y xydxdy蝌= 1 200ydy y xydx蝌 = 1 3200 2 ()3 yy y x dy242。 == 229。 所圍區(qū)域 . 解 作球坐標(biāo)變換 cos si n ,: si n si n ,cosxrT y rzrqjqjj236。??= 蝌 3200x yxdx x e dy+? = 蝌 320 (1 )xx e dx+? = =242。238。239。 中，由于 ()fy是抽象函數(shù)，故無(wú)法計(jì)算，可考慮交換積分次序，但交換積分次序后，0()y f xdx242。 ，這只是為幾何上說(shuō)明方便而引入的條件，實(shí)際上，公式（ 2）的成立不受此條件的限制 . 類(lèi)似地，如果積分區(qū)域 D 為 Y型區(qū)域： { }12( , ) , ( ) ( )x y c x d y x yyy＃＃， 則有 ( , )D f x y dxdy蝌21()() ( , )dycydy f x y dxyy= 蝌 上式右端的積分稱(chēng)為先對(duì) x 后對(duì) y的二次積分 . 如果積 分區(qū)域 D 既不是 X型區(qū)域又不是 Y型區(qū)域，我們可以將它分割成若干塊 X型區(qū)域或 Y型區(qū)域（見(jiàn)圖 8）然后在每塊這樣的區(qū)域上分別應(yīng)用公式（ 2）或（ 3），再根據(jù)二重積分對(duì)積分區(qū)域的可加性，即可計(jì)算出所給二重積分 圖 8 圖 9 如果積分區(qū)域 D 既是 X型區(qū)域又是 Y型區(qū)域，即積分區(qū)域 D 既可用 不等式 12, ( ) ( )a x b x y xjj＃＃ 表示，又可用不等式 12, ( ) ( )c x d x x xyy＃＃ 表示（見(jiàn)圖 9），則有 21 ( , )ba dx f x y dy???? 21 ()() ( , )dycydy f x y dxyy= 蝌 上式表明，這兩個(gè)不同積分次序的二次積分相等，這個(gè)結(jié)果使我們?cè)诰唧w計(jì)算一個(gè)二重積分時(shí)，可以有選擇地將其化為其中一種二次積分，以使計(jì)算更為簡(jiǎn)單 . yxD 2D 3D 1O yxDOdca b 7 例 1[7] 計(jì) 算D xyds蝌，其中 D 是由直線 2, 1xy==及 yx= 所圍成的閉區(qū)域 . 解法 1 畫(huà)出積分區(qū)域 D 的圖形（見(jiàn)圖 10），易見(jiàn)積分區(qū)域 D 既是 X型的也是Y型的 .如果將積分區(qū)域視為 X型的，則積分區(qū)域 D 的積分限為 12x＃ ， 1 yx＃ ，所以 D xyds蝌211x xydy dx輊= 犏犏臌蝌 2211 2 xyx dx輊犏= 犏臌242。239。239。237。 其中 ( , )f xy 叫做被積函數(shù)， ( , )f x y ds 叫做被積表達(dá)式， ds 叫做面積元素， x 與y 叫做積分變量， D 叫做積分區(qū)域，1 ( , )ni i ii f x h s= D229。 Calculation method 1 1 前言 重積分在數(shù)學(xué)中是一個(gè)知識(shí)獨(dú)特、應(yīng)用廣泛的內(nèi)容，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ) ，是高等數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容，也是高等院校其他專(zhuān)業(yè)知識(shí)聯(lián)系緊密的部分，他的引入為解決數(shù)學(xué)中的問(wèn)題提供了新的視野。 3 對(duì)稱(chēng)區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 二重積分 的 計(jì)算 方法 借助重積分蝌 ( , )Df x y ds蝌 若又有 ( , ), ( , )f x y g x y,在 D 內(nèi)連續(xù)且 ( , ) ( , )f x y g x y185。239。239。239。1 2023 dy==242。 其中 dv 叫做體積元素 . 11 在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于坐標(biāo)平面的平面來(lái)劃分 W，那么除了包含 W的邊界點(diǎn)的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域 iv 的邊長(zhǎng)為 ,j k lx y z，則i j k lv x y z=.因此，在直角坐標(biāo)系中有時(shí)，也把體積元素 dv 記作 dxdydz ，而把三重積分記作 ( , , )f x y z dxdydzW蝌 ? 其中 dxdydz 叫做直角坐標(biāo)系中的體積元素 . 注： 三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類(lèi)似，故，不再重復(fù) . 三重積分的計(jì)算 方法 三重積分的計(jì)算核心是將其轉(zhuǎn)化為累次積分 , 這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō) , 一般都感到困難較大 , 困難的原因主要表現(xiàn)在不會(huì)確定累次積分的上下限 (即對(duì)積分區(qū) 域不能準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí) )為了方便 , 用 D 表示平面區(qū)域 , 用 W表示空間區(qū)域 , 并將空間區(qū)域 W主要分以下兩大類(lèi) : (1) XY 型 ,YZ 型 ,XZ 型 所謂 W是 XY 型區(qū)域 , 就是 W能表示為集合 { }12( , ) ( , ) , ( , ) xyz x y z z x y x y D＃ ?,其中 xyD 是 W在 XOY 平面上的投影區(qū)域 , 12( , ), ( , )z z x y z z x y==分別是 W的下邊界曲面和上邊界曲面 方程 .XY 型區(qū)域 W的幾何特征是 : 特征 1 在 XOY 平面上的投影區(qū)域 xyD 為有界閉區(qū)域 。 =239。 1202 (1 )xe dx+? = 242。239。237。 ，110( ) ( ) .xI dx f x f y dy= 蝌 解 （積分區(qū)域與例 1中相同）所求積分 1 ()xf y dy242。 21 ( , )ba f x y dy dxjj輊= 犏犏臌蝌 （ 1）