【正文】 刻的了解，而且在遇到具體問(wèn)題時(shí)要能夠熟練運(yùn)用。 由此 我們可以看出重積 分在各個(gè)領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用，因此，對(duì)重積分的研究不可忽視。我們應(yīng)該加大對(duì)重積分的研究深度，使之在各個(gè)領(lǐng)域起到更大的作用。 2 二重積分的概念及其計(jì)算方法 [9] 二重積分 的定義 定義 1 設(shè) ( , )f xy 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域 12, ,..., ,ns s sD D D 其中 isD 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積 .在每個(gè) isD 上任取一點(diǎn) ,()iixh ，作乘積 ,()i i if x h sD ( 1,2,..., )in= ,并作和1 ( , )ni i ii f x h s= D229。.如果當(dāng)各個(gè)小閉區(qū)域 2 的直徑中的最 大值 l 趨于零時(shí)，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) ( , )f xy在閉區(qū)域 D上的二重積分，記作 ( , )??D f x y ds，即 ( , )Df x y ds蝌 ( ),0 1lim n i i iil m x h s174。 ==D229。 其中 ( , )f xy 叫做被積函數(shù)， ( , )f x y ds 叫做被積表達(dá)式， ds 叫做面積元素， x 與y 叫做積分變量， D 叫做積分區(qū)域，1 ( , )ni i ii f x h s= D229。叫做積分和 . [4] 二重積分的性質(zhì) 線性性質(zhì) 設(shè) D 為平面內(nèi)有界閉區(qū)域， ( , )f xy ， ( , )gxy 在 D 內(nèi)可積 222。 對(duì) 常數(shù) 12,kk， [ ]12( , ) ( , )Dk f x y k g x y d s+蝌 = 12( , ) ( , )DDk f x y d k g x y dss=+蝌蝌 對(duì)區(qū)域的可加性質(zhì) 設(shè) 12,DD D 為平面內(nèi)有界閉區(qū)域 , 12D D D= , 12,DD只有公共的邊界曲線 . ( , )f xy 在 D 內(nèi)可積或 ( , )f xy 在 12,DD內(nèi)可積 222。 ( , )Df x y ds蝌 =1( , )Df x y ds=+蝌2( , )Df x y ds蝌 積分的不等式性質(zhì) 設(shè) D 為平面內(nèi)有界閉區(qū)域， ( , )f xy , ( , )gx y ( , )gxy 在 D 內(nèi)可積 . ① 若 ( , ) ( , )f x y g x y163。 (( , ) )x y D206。 ? ( , )Df x y ds 163。蝌 ( , )Dg x y ds蝌 特別的有 ( , )Df x y ds 163。蝌 ( , )Df x y ds蝌 若又有 ( , ), ( , )f x y g x y,在 D 內(nèi)連續(xù)且 ( , ) ( , )f x y g x y185。 ? ( , )Df x y ds 蝌 ( , )Df x y ds蝌 3 ② 若 ( , ) ( ( , ) )m f x y M x y D＃ ?,使得 ( , )Dm f x y d Ms s s＃ 蝌 其中 s 為的 D 面積 . 積分中值定理 設(shè) D 為平面有界閉區(qū)域， ( , )f xy 在 D 連續(xù) ? ( , ) Dxh$?,使得 ( , )Df x y ds 蝌 ( , )fdx h s ， 其中 s 為 D 的面積 對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積 分性質(zhì) 對(duì)不同類型的積分有不同的情形 設(shè) ( , )f xy 在有界閉區(qū)域 D 上可積 .若 D 關(guān)于 x 軸對(duì)稱（見(jiàn)圖 1） ( , )Df x y ds蝌 =102 ( , )Df x y d s236。239。239。239。239。239。239。239。237。239。239。239。239。239。239。239。238。 蝌 其中 { }1 ( , ) ( , ) , 0D x y x y D y= 緯 yxOyxO 圖 1 圖 2 若 D 關(guān)于 y 軸對(duì)稱（見(jiàn)圖 2），則 ( , )Df x y ds =蝌102 ( , )Df x y ds236。239。239。239。239。239。239。239。237。239。239。239。239。239。239。239。238。 蝌 其中 { }1 ( , ) ( , ) , 0D x y x y D x= 緯. ，當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 y 為奇函數(shù)，即 ( , )f xy = ( , )f x y ( , )xy?D ，當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 y 為偶函 數(shù)，即 ( , )f xy = ( , )f x y , ( , )xy?D ,當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 x 為奇函數(shù)， ,當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 y 為偶函數(shù)， yxO yxO yxO yxO 4 圖 3 圖 4 若 D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 ( ( , ) ( , ) )x y D x y D污 ?（見(jiàn)圖 3），則 ( , )Df x y ds =蝌102 ( , )Df x y ds236。239。239。239。239。239。239。239。237。239。239。239。239。239。239。239。238。 蝌 其中 1D 為 D 的右半平面部分或上半平面部分 . 若 D 關(guān)于直線 yx= 對(duì)稱（見(jiàn)圖 4） ( ( , ) ( , ) )x y D x y D污 ?，則 ( , )Df x y dxdy蝌 = ( , )Df y x dxdy= 蝌 若 D 分成兩部分 D = 1 2 1 2,D D D D,分別為 D 在 yx= 的上方與下方部分 222。 1( , )Df x y dxdy蝌2( , )Df x y dxdy= 蝌 二重積分的計(jì)算方法 [9]直角坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算 介紹二重積分的計(jì)算前先介紹 X型區(qū)域和 Y型區(qū)域的概念 .圖 5和圖 6 分別給出了這兩種區(qū)域的典型圖例 . 1()xyy= 圖 5 圖 6 ，當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 (, )xy 為奇函數(shù)，即 ( , )f x y ( , )f x y= , ( , )x y D? ，當(dāng) ( , )f xy 關(guān)于 (, )xy 為偶函 數(shù)，即 ( , )f x y ( , )f x y= ， ( , )x y D? yx【 X 型 】DO a b yx【 Y 型 】DO 5 X型區(qū)域： { }12( , ) , ( ) ( )x y a x b x y xjj＃＃.其中函數(shù) 12( ), ( )xxjj在區(qū)間 [ ],ab上連續(xù) .這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)區(qū)域且平行于 y 軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . Y型區(qū)域： { }12( , ) , ( ) ( )x y c x d x x xyy＃＃.其中函數(shù) ( ), ( )yyyy在區(qū)間 [ ],cd上連續(xù) .這種區(qū)域的特點(diǎn)是：穿過(guò)區(qū)域且平行于 x 軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . 我們知道，在直角坐標(biāo)系下，二重積分可寫成 ( , )Df x y ds蝌 = ( , )Df x y dxdy蝌 假定積分區(qū)域 D 為如下 X型區(qū)域： { }12( , ) , ( ) ( )x y a x b x y xjj＃＃ 當(dāng) ( , ) 0f x y 179。 時(shí)，按照二重積分的幾何意義，上述二重積分的值等于以積分區(qū)域 D 為底，以曲面 ( , )z f x y= 為頂?shù)那斨w（ 見(jiàn) 圖 7）的體積 .下面 來(lái)計(jì)算這個(gè)曲頂柱體的體積 . 圖 7 先計(jì)算截面的面積 .為此在區(qū)間 [ ],ab 上任取一點(diǎn) x ，則過(guò)該點(diǎn)且平行于 yoz面的平面截面頂柱體所得的截面是一個(gè)一區(qū)間 [ ]12( ), ( )xxjj為底的曲邊梯形（見(jiàn)圖 7 陰影部分）所以此截面的面積為 ()Ax 21 ( , )f x y dyjj= 242。 于是，曲頂柱體的體積為 Oyzxaxb 6 ( , )Df x y dxdy蝌 = ()ba Axdx242。 21 ( , )ba f x y dy dxjj輊= 犏犏臌蝌 （ 1） 上式右端的積分稱為先對(duì) y 后對(duì) x 的二次積分，習(xí)慣上，常將其中的括號(hào)省略不寫，而記為 21 ( , )ba dx f x y dyjj蝌 因此，公式（ 1）又寫成 ( , )Df x y dxdy蝌 21 ( , )ba dx f x y dy??? ?? （ 2