【正文】 與 x 之間 (即 0xx??? 或 0xx??? ),x 為 ? ?,ab 上任意點(diǎn) ,特別地 ,在上式中取 0xa? , 2abx ?? ,并利用已知條件 ( ) 0fa? ? ,則有 : 21()( ) ( ) ( )28a b b af f a f c?? ????,其中 1c 滿足1 2abac ???, 10 于是 2()( ) ( )28a b b af f a k????. 同理再取 0xb? ,2abx ??,并利用已知條件 ( ) 0fb? ? ,則得 : 22()( ) ( ) ( )28a b b af f b f c?? ????,其中 2c 滿足22abcb? ??. 于是 : 2()( ) ( )28a b b af b f k????. 因此 , 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4a b a b b af b f a f b f f f a k f b f a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 這是不可能的 .所以在區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點(diǎn) c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 11 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 泰勒中值定理證明不等式的方法歸納 泰勒公式的余項(xiàng)大體分兩種 :佩亞諾型余項(xiàng) ,拉格朗日型余項(xiàng) .與帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰 勒公式相比 ,帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)函數(shù) ()fx的假設(shè)條件較少 ,只需函數(shù) ()fx在 0x 處 n 階可導(dǎo) ,不需要 1n? 階可導(dǎo) ,也不需要在 0x 的鄰域內(nèi)存在 n 階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ,因此應(yīng)用 范圍較廣 .但是在證明不等式時(shí) ,精確度卻不如帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式好 . 利用此原理可以證明一般的不等式 ,積分不等式 ,估值不等式等多種不等式 ,這種方法的用法非常廣泛 . 證明方法 : (1) 根據(jù)已知條件 ,圍繞證明目標(biāo) ,尋取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在該點(diǎn)展成泰勒展式 . (2) 根據(jù)已知條件 ,向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?,直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止 . 泰勒中值定理證明不等式 例 6 當(dāng) 0 2x ??? 時(shí) ,求證 : 222 1 200( 1 ) s in ( 1 )( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !k k k knnkkx x xk x k???????????. 分析 :由于朗格朗日中值定理很容易證明 sin01xx??, 而利用泰勒中值定理時(shí) ,當(dāng) 1n? 時(shí) ,不等式為 : 2 2 4s in113 ! 3 ! 5 !x x x xx? ? ? ? ?. 顯然第二個(gè)比前一個(gè)的不等式的精確度高得多 ,隨著 n 的增大 ,不等式的精確度會(huì)大幅度地提高 ,所以我們?cè)谧鲱}過程 中 ,按題目的要求來選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉碜C明不同的不等式 . 證明 令 ( ) sinf x x? ,那么函數(shù) ()fx在 0 0x? 點(diǎn)展開前 2n 項(xiàng)的泰勒公式 , 余項(xiàng)取拉格朗形式 ,那么有 : 212430 ( 1 )s in ( )( 2 1 ) !kknnk xx R xk??? ????? 12 434 3 4 3 4 3433si n( )si n c os2() ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) !n x n n nn xR x x x xn n n??? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?. 因?yàn)?02x ??? ? ?,所以 cos 0?? ,從而 21( ) 0nRx? ? , 所以有 2120( 1)sin (2 1) !kknkxx k ???? ?? . 即 220( 1)sin (2 1)!kknkxx k??? ?? . 同理 ,因?yàn)?412s i n( )2( ) 0( 4 1 ) ! nnR x xn???????,所以左端的不等號(hào)也成立 . 另外 ,在遇到高階導(dǎo)數(shù)的不等式 ,一般都首先考慮泰勒中值定理 .像 之前的例 們也可以用泰勒中值定理來證明 ,下面具體來說明 : 例 5 的另一種證法 : 由題設(shè)條件 ,應(yīng)用泰勒展開式有 : 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b b a b af f a f a f ?? ? ?? ??? ? ?, 221( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b a b a bf f b f b f ?? ? ?? ??? ? ?, 其中 1? 介于 a 與 2ab? 之間 ,2? 介于 2ab? 與 b 之間 . 上述兩式相減 ,且有 ( ) ( ) 0f a f b????,得 : 2 211( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]22abf b f a f f??? ?? ??? ? ? ?, ? ?2 21()( ) ( ) ( ) ( )8abf b f a f f??? ?? ??? ? ?. 令 21m a x { ( ) , ( ) } ( )f f f? ? ??? ?? ???, ( , )ab?? ,則有 : 2()( ) ( ) ( )4abf a f b f ?? ???? , ( , )ab?? . 即 24( ) ( ) ( )()f f b f aba??? ???. 例 7 設(shè)函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上二階可導(dǎo) ,且 ( ) 0fx? , ( ) 0fx?? ? . 13 求證 :對(duì)任意的 ? ?,x ab? ,有 2( ) ( )baf x f tba? ? ?. 證明 : 對(duì)任意的 ? ?,x ab? ,將 ()fx在 t 點(diǎn)展開 ? ?( , )t ab? . 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!ff x f t f t x t x t???? ? ? ? ?(其中 ? 介于 x 與 t 之間 ). 注意到 ( ) 0fx?? ? ,所 以有 ( ) ( ) ( )f x f t f x t?? ? ?. 對(duì)上述不等式的兩邊對(duì) t 積分 ,得 : ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x d t f t d t f t x t d t?? ? ?? ? ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bb baaab a f x f t d t f x x t f t d t? ? ? ? ??? 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ba f t d t f b x b f a x a? ? ? ? ?? 因?yàn)?( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f b x b f a x a? ? ? ? ? ?.所以 2( ) ( )baf x f tba? ? ?. 14 第六章 綜合利用微 分中值定理證明不等式 通過求極值點(diǎn)證明不等式 利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性 ,其方法是 :如果函數(shù)()fx在 ? ?,ab 上連續(xù) ,在 ? ?,ab 內(nèi)可導(dǎo) ,則有 : (1)如果在 ? ?,ab 內(nèi)函數(shù) ()fx的導(dǎo)數(shù) ( ) 0fx? ? ,則函數(shù) ()fx在 ? ?,ab 上單調(diào)增加 。 關(guān)鍵詞 : 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式證明；不等式 的應(yīng)用 II Abstract There are many ways to prove inequality， And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem， Lagrange Mean Value Theorem， Cauchy Mean Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical， therefore this paper finally give some basic inequality in real life application. Key Words: Roller Mean Value Theorem。 Apply of inequality。 Prove inequality. 目 錄 引言 ....................................................................................................................................... 1 第一章 知識(shí)準(zhǔn)備 .....................................................................................