【正文】 ? ? 241 a?? 6． ???e1 2 d)1ln(dd xxx . 解： ???e1 2 d)1ln(dd xxx0 7． xxde0 2???= ． 解： xxde0 2???020 20 221l i m)2(l i m21l i m bxbb xbb xb exdedxe ????????? ?? ?? 21)1(lim21 2 ?????? bb e 8．微分方 程 1)0(, ??? yyy 的特解為 . 解：由 yy?? 得 ydxdy? ， dxydy?，兩邊同時(shí)積分，得 cxy ??ln 因?yàn)?1)0( ?y ，所以 c??01ln ，所以 0?c 13 從而 xy?ln ，因此微分方程 1)0(, ??? yyy 的特解為 xey? 9．微分方程 03 ??? yy 的通解為 . 解： 03 ??? yy ， 03 ?? ydxdy， 03 ?? dxydy， 13ln cxy ?? xcy 3ln 1 ?? ， xcey 31?? ，即 xc eey 31 ??? 所以微分方程 03 ??? yy 的通解為 xcey 3?? 10．微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 ． 解：微分方程 xyxyy s in4)( 7)4(3 ???? 的階數(shù)為 4 階 二、單項(xiàng)選擇題（每小題 2 分，共 20 分） 1．在切線斜率為 2x 的積分曲線族中，通過點(diǎn)（ 1, 4）的曲線為 （ A ）． A． y = x2 + 3 B． y = x2 + 4 C． 22 ??xy D． 12 ??xy 2．若 ? ?10 d)2( xkx= 2，則 k =（ A ）． A． 1 B． 1 C． 0 D． 21 3．下列定積分中積分值為 0 的是 （ A ）． A． xxx d2ee11???? B． xxx d2ee11???? C． xxx d)cos( 3?? ??? D． xxx d)sin( 2?? ??? 4．設(shè) )(xf 是連續(xù)的奇函數(shù)，則定積分 ??aa xxf d)(（ D ） A． ?0 d)(2 a xxf B． ?0 d)(a xxf C． ?a xxf0 d)( D． 0 5． ?? xxdsin22??（ D ）． A． 0 B． ? C． 2? D． 2 6．下列無窮積分收斂的是（ B ）． A． ???0 de xx B． ??? ?0 de xx C． ???1 d1 xx D． ???1 d1 xx 7．下列無窮積分收斂的是（ B ）． A． ? ??0 din xxs B． ? ?? ?0 2 de xx C． ???1 d1 xx D． ???1 d1 xx 8．下列微分方程中，（ D ）是線性微分方程． A． yyyx ???ln2 B． xxyyy e2 ??? C． yyxy e????? D． xyyxy x lnesin ????? 14 9．微分方程 0??y 的通解為（ C ）． A． Cxy? B． Cxy ?? C． Cy? D． 0?y 10．下列微分方程中為可分離變量方程的是 （ B ） A. yxxy ??dd； B. yxyxy ??dd； C. xxyxy sindd ??； D. )(dd xyxxy ?? 三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 56 分） 1． xxx d)e1(e 22ln0 ?? 解： xxx d)e1(e 22ln0 ?? 319389)1(31)1()1(2ln0322ln0 ???????? ? xxx eede 2． xx xdln51e1? ? 解： xx xdln51e1? ? ?? ?????ee xdxxdx11 )ln51()ln51(51ln)ln51( 21)16(101)ln51(2151 12 ??????ex 3． xxexd10? 解： xxexd10? 1)1(10101010 ????????? ?? eeeedxexex de xxxx 4． ??0 d2sin xxx 解： ??0 d2sin xxx ?? ?????00 2c os2)2(2s i n2 xxdxdxx dxxdxxxx ?? ???? ???000 2c os2)2c os2c os(2 42s in4)2(2c os4 00 ??? ??? xxdx 5． ??20 dsin xxx 解： ??20 dsin xxx )c osc os(c os 202020 ?? ???????? x dxxxxxd 1sin 20 ?? ?x 6．求微分方程 12 ???? xxyy 滿足初始條件 47)1( ?y 的特解． 解：微分方程的通解為 ? ???? ? ])([ )()( cdxexqey dxxpdxxp 15 這里 xxp 1)( ?， 1)( 2 ?? xxq 代入得微分方程的通解為 )2141(1 24 cxxxy ??? 將初始條件47)1( ?y代入上式，解得 1?c 所以微分方程的特解為 )12141(1 24 ??? xxxy 7．求微分方程 xxxyy 2sin2???的通解。 3．若 ? ?? cxxxf xed)( ，則 ?)(xf ? ?1 xxe? ． 4．若 ? ?? cxxxf 2sind)( ，則 )(xf 2cos2x ． 5．若 cxxxxf ??? lnd)( ，則 ?? )(xf 1x ． 6．若 ? ?? cxxxf 2co sd)( ，則 ?? )(xf 4cos2x? ． 7． ?? ? xx ded 2 2xe dx? ． 8． ??? xx d)(sin sinxc? ． 9． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?? xxf d)32( ? ?1 232 F x c?? ． 10． 若 ? ?? cxFxxf )(d)( ，則 ? ?? xxxf d)1( 2 ? ?21 12F x c? ? ? ． 二、單項(xiàng)選擇題（每小題 2 分，共 16 分） 1．下列等式成立的是（ ）． A． )(d)(dd xfxxfx ?? B． )(d)( xfxxf ??? C． )(d)(d xfxxf ?? D． )()(d xfxf ?? 解：應(yīng)選 A 2．若 cxxxf x ??? 22 ed)( ，則 ?)(xf （ ） . A. )1(e2 2 xx x ? B. xx 22e2 C. xx2e2 D. xx2e 解：兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得： xx exxexf 222 22)( ?? ? )1(e2 x ? ， 所以應(yīng)選 A 10 3．若 )0()( ??? xxxxf ，則 ??? xxf d)( （ ） . A. cxx ?? B. cxx ??2 C. cxx ?? 23223 D. cxx ?? 2323221 解：應(yīng)選 A 4．以下計(jì)算正確的是（ ） A．3ln3dd3 xx x? B． )1(d1 d 22 xxx ??? C． xxx dd ? D． )1d(dlnxxx ? 解：應(yīng)選 A 5． ???? xxfx d)( （ ） A. cxfxfx ??? )()( B. cxfx ?? )( C. cxfx ?? )(21 2 D. cxfx ??? )()1( 解： ???? xxfx d)( ? ? ????????? cxfxfxdxxfxfxxfxd )()()()()( ， 所以應(yīng)選 A 6． ? ? xa xdd 2 =（ ）． A． xa2? B． xaa x dln2 2?? C． xa xd2? D． cxa x ?? d2 解：應(yīng)選 C 7．如果等式 ? ??? ?? Cxxf xx 11 ede)( ，則 ?)(f （ ） A. x1? B. 21x? C. x1 D. 21x 解：兩邊求導(dǎo)，得：211 1)(xeexf xx ??? ?? ， 所以 21)( xxf ?? ，故應(yīng)選 B 三、計(jì)算題（每小題 7 分，共 35 分） 1． ? ?? xx xxx dsin3 3