【正文】 3我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 第三講 數(shù)列與不等式 (文 ) 第一節(jié) 數(shù)列及其應(yīng)用 數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容，是高考命題的熱點(diǎn) .縱觀近幾年的高考試題 ,對等差和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前 n 項(xiàng)和公式 ,對增長率、分期付款等數(shù)列實(shí)際應(yīng)用題多以客觀題和中低檔解答題為主，對數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等相結(jié)合的綜合題的考查多屬于中高檔題 ,甚至是壓軸題 ,難度值一般控制在 ~ 之間 . 考試要求 （ 1）數(shù)列的概念和簡單表示法 ① 了解數(shù)列 的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式） .② 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù) .（ 2）等差數(shù)列、等比數(shù)列 ① 理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念 .② 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前 n項(xiàng)和公式 . ③ 能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 . ④ 了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 . 題型一 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例 1． 已知等比數(shù)列 ??na 中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且 1a 、321a、 22a 成等差數(shù)列，求 9 1078aaaa?? 。)12(63 ?? ??? nn n 63 , .. .. .. 。)1( 1 ??? ?nn nS 又 1+3+?+ （ 2n－ 1） =n2 ∴ 12( 1 ) 3 3 ( * , 20 08 )nnz n n n N n?? ? ? ? ? ? ?. 【易錯(cuò)點(diǎn)】（ 1）根據(jù)框圖不能正確寫出數(shù)列的遞推公式，解題受阻，（ 2）對數(shù)列求和的方法及每種方法所適合的題型認(rèn)識(shí)不清，盲目求和；（ 3）對指數(shù)運(yùn)算不夠熟悉，導(dǎo)致利用錯(cuò)位相減法計(jì)算出的結(jié)果不正確 . 變式 與引 申 5： 已知數(shù)列 {}na 中，111 ,22 nna n a a???,點(diǎn) （ ）在直線 y=x上，其中 n=1,2,3?. （ 1）令 1 1n n nb a a ,?? ? ?求證數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列 。 【易錯(cuò)點(diǎn)】（ 1）等差數(shù)列與等比數(shù)列只有一字之差，部分同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)審題不仔細(xì)的現(xiàn)象；（ 2）等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的性質(zhì)混淆，概念模糊不清；（ 3）對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及公式的變式不熟悉，往往要先計(jì)算 qda ,1 等量，一旦計(jì)算量大一點(diǎn)，解題受阻 . 變式 與引 申 1： 等差數(shù)列 ??na 的前 n項(xiàng)和為 nS ，公差 ,0?d 83 SS ? . （ 1） 求 11S 的值 。3 n－（ 2n－ 1） （ 7） 不等式滲透在中學(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中，有著十分廣泛的應(yīng) 用．如集合問題，方程 (組 )的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題 等， 無一不與不等式有著密切的聯(lián)系 .因此不等式應(yīng)用問題體現(xiàn)了一定的靈活性、綜合性．在解決問題時(shí)，要依據(jù)題設(shè) 、 題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 及 內(nèi)在聯(lián)系 ， 選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解． 習(xí)題 3－ 2 1． (2020山東文科 7)設(shè)變量 x， y滿足約束條件 2 5 0200xyxyx? ? ???? ? ?????，則目標(biāo)函數(shù) 2 3 1z x y? ? ?我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 的最大值為 (A)11 (B)10 (C)9 (D) 2． (2020 安徽文科 )設(shè) ()fx= sin 2 cos 2a x b x? ，其中 a， b? R， ab? 0，若 ( ) ( )6f x f ??對一切則 x?R 恒成立，則 ① 11( ) 012f ? ?[ ② 7()10f ?＜ ()5f ? ③ ()fx既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) ④ ()fx的單調(diào)遞增區(qū)間是 2, ( )63k k k Z??????? ? ????? ⑤ 存在經(jīng)過點(diǎn)（ a， b）的直線與函數(shù)的圖 ()fx像不相交 以上結(jié)論正確的是 （寫出 所有正確結(jié)論的編號(hào)） . 3． 已知函數(shù) f(x)＝ log2(x＋ 3x－ a)的定義域?yàn)?A，值域?yàn)?B． （ 1）當(dāng) a＝ 4時(shí)，求集合 A；（ 2）設(shè) I＝ R 為全集，集合 M＝ {x|y＝ x2－ x＋ 1(a－ 5)x2＋ 2(a－ 5)x－ 4}，若 (CIM)∪ (CIB)＝ ○∕，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 4． 解關(guān)于 x 的不等式 2)1(??xxa ＞ 1(a≠1) ． 5． 設(shè)不等式 2 2 2 0x ax a? ? ? ?的解集為 M ，如果 ? ?1,4M? ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 第三節(jié) 不等式選講 不等式選講是一個(gè)選考內(nèi)容 ,縱觀近年關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的高考試題 ,含絕對值不等式的試題常以選做題的形式出現(xiàn) ,屬于中檔偏易題 .最值與恒成立問題是高考的?？键c(diǎn) ,不等式的證明常與數(shù)列相結(jié)合 ,考查數(shù)學(xué)歸納法、放縮法等技能方法 ,屬于中高檔題 ,甚至是壓軸題 ,難度一般控制在 ~ 之間 . 考試要求： ⑴理解絕對值 | | | | | | | | | |a b a b a b? ? ? ? ?及其幾何意義 . ①絕對值不等式的變式： | | | | | |a b a c c b? ? ? ? ?. ② 利用絕對值的幾何意義求解幾類不等式：① ||ax b c?? ；② ||ax b c?? ；③| | | |x a x b c? ? ? ?. ⑵ 了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法 . 題型一 含絕對值不等式 例 1（ 2020全國課標(biāo)卷理科第 24 題）設(shè)函數(shù) ( ) 3f x x a x? ? ?,其中 0a? . （ Ⅰ ）當(dāng) 1a? 時(shí)，求不等式 ( ) 3 2f x x??的解集 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ Ⅱ ）若不等式 ( ) 0fx? 的解集為 ? ?|1xx?? ，求 a 的值。 , ,nnP Q P Q P Q記 kP 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( , 0) ( 1, 2, ..., )kx k n? . （Ⅰ）試求 1x 與 1kx? 的關(guān)系 (2 )kn?? （ Ⅱ）求 1 1 2 2 3 3 ... nnP Q P Q P Q P Q? ? ? ?． 5 ． 已 知 數(shù) 列 ??nx 滿足 ,21 1*1 ?????????? ???? nnnnn xaxNnxx 設(shè)且且.2)12(32 2123212 nnn naanaaaT ??????? ?? （ 1）求 nx 的表達(dá)式； （ 2）求 nT2 ； 第二節(jié) 解不等式 不等式 是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)內(nèi)容，對不等式的性質(zhì)、一元二次不等式、簡單的線性規(guī)劃、均值不等式的考查多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，這類試題雖然難度不大，但往往有一定的靈活性 .若是解答題 ,也是 中等難度的題目；高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法和證明 . 不等式 因它的基礎(chǔ)性（是研究函數(shù)、方程、極限等必不可少的工具）、滲透性（容易與其它各部分知識(shí)結(jié)合在一起）、應(yīng)用性（實(shí)際應(yīng)用廣泛），很自然地成為每年高考的熱點(diǎn) .近幾年，高考關(guān)于不等式的命題趨勢 是 ： （ 1）單純不等式的題目多以選擇填空題的形式出現(xiàn)，若是解答題也是中等難度的題目； （ 2）高考中涉及不等式的，更多的情況是以函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)為載體，綜合考查不等式的解法 和證明，突出不等式的工具性 .在高考試卷中，有關(guān)解不等式的試題一般有一到兩道． 考試要求 （ 1）不等關(guān)系 ： 了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景． （ 2）一元二次不等式 ① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． ② 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系． ③ 會(huì)解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖． （ 3）二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 ① 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． ② 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面 區(qū)域表示二元一次不等式組． ③ 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決． 題型一： 不等式的解法 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 例 1(2020 上海理科 20)已知函數(shù) ( ) 2 3xxf x a b? ? ? ?，其中常數(shù) ,ab滿足 0ab? 。 由 122 3 1aa??得 122 3 1a a q??，所以1 13a?。3 n， ① 則 3Sn=13 2+33 3+?+ （ 2n－ 1） 3 n+1 ② ① － ② ，得－ 2Sn=3+2本題分離參數(shù)后可求最值 . 解（ 1 ） ? ? ? ? 10 0 。 當(dāng) 0, 0ab??時(shí)，同理，函數(shù) ()fx在 R 上是減函數(shù)。 圖 312 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 3）求 1 1 2 2 ( , 2 0 0 8 )n n nz x y x y x y x N n? ? ? ? ? ? ?． 【點(diǎn)撥】（ 1）程序框圖與數(shù)列的聯(lián)系是新課標(biāo)背景下的新鮮事物，因?yàn)槌绦蚩驁D中循環(huán)，與數(shù)列的各項(xiàng)一一對應(yīng)，所以，這方面的內(nèi)容是命題的新方向，應(yīng)引起重視；（ 2）由循環(huán)體寫出數(shù)列的遞推公式，再由遞推公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決問題 的關(guān)??；（ 3）掌握錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和及數(shù)列求和的一般方法 . 【 解 】 （ 1 ） 由 框 圖 ， 知 數(shù) 列 }{nx 中 2,1 11 ??? ? nn xxx ∴ 1 2( 1 ) 2 1 ( * , 200 8 )nx n n n N n? ? ? ? ? ? ? （ 2） y1=2， y2=8， y3=26， y4=80. 由此，猜想 )2020,(,13 ????? nNny nn 證明：由框圖，知數(shù)列 {yn}中， 231 ??? nn yy ， )1(311 ???? ? nn yy ， 311 ??y ∴ 數(shù)列 {yn+1}是以 3為首項(xiàng)， 3為公比的等比數(shù)列， )2 0 0 8,(,13 ????? ? nNny nn （ 3） )13)(12()13(3)13(1 22211 ???????????????????? nnnn nyxyxyxz =13+33 2+?+ （ 2n－ 1） （Ⅱ ） 3 1 3 1 3 1l og l og .. . l ognb a a a? ? ? ? (1 2 ... )( 1)2nnn? ? ? ? ???? 故 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1nb n n n n? ? ? ? ??? 121 1 1 1 1 1 1 1 2. . . 2 ( ( 1 ) ( ) . . . ( ) )2 2 3 1 1nnb b b n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 所以數(shù)列 1{}nb的前 n項(xiàng)和為 21nn? ? 【易錯(cuò)點(diǎn)】 （ 1） 沒有注意條件 a0，公比計(jì)算錯(cuò) ；（ 2）在求 ??nb 的通項(xiàng)公式時(shí)，遺漏 了負(fù)號(hào) ；不會(huì)將 12( 1)nb n n?? ?化為 1 1 12( )1nb n n? ? ? ?. 變式 與引 申 2已知 nS 是數(shù)列 {na }的前 n項(xiàng)和，并且 1a =1，對任意正整數(shù) n， 241 ??? nn aS ；設(shè) ?,3,2,1(21 ??? ? naab nnn ） . 我的宗旨：授人以漁 1294383109 歡迎互相交流 訪問我的空間 （ 1）證明數(shù)列 }{nb 是等比數(shù)列，并求 }{nb 的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) }l ogl og 1{,3 2212 ?? ?? nnnnn CCTbC 為數(shù)列的前 n項(xiàng)和，求 nT . 3. 等比數(shù)列 { na }的前 n 項(xiàng)和為 nS ， 已知對任意的 nN?? ，點(diǎn) (, )nnS ，均在函數(shù)(0xy b r b? ? ? 且 1, ,b br? 均為常數(shù) )的圖像上 . （ 1）求 r的值； （ 2）當(dāng) b=2時(shí)，記 1 ()4n nnb n Na ???? 求數(shù)列 {}nb 的前 n 項(xiàng)和 nT . 題型三：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例 3. 為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該 校 100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右圖所示；由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前 4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列 ??na 的前四項(xiàng)，后 6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列 ??nb 的前六項(xiàng) . (1)求數(shù)列 ??na 和 ??nb 的通項(xiàng)公式 ； (2)求視力不小于 ； (3)設(shè) ? ??? ????? Nnbacacac nnn 12211 ?,求數(shù)列 ??nc 的通項(xiàng)公式 .