【正文】 .CC? ? ? 選取隸屬度函數(shù)： 1 2 111 1 11 c o s( )( ) , ( ) 1 ( )2M M Lyy y y? ? ??? ? ?并選取 ?? ，根據(jù)定理 2，通過 Matlab 求解相應的 LMIs，可以得到： ? ?? ?12 1 . 5 0 1 4 ,1 1 . 0 7 9 0 2 . 2 7 8 5 , 3 . 0 4 5 2 .2 . 2 7 8 5 0 . 5 9 8 4 FQ F ???? ?? ??? 分別選取初始值為 ? ? ? ? , ，利用 MATLAB仿真，圖 1是系統(tǒng)變量 1x 和 2x 的狀態(tài)響應，圖 2是控制律變化過程。 3 算例分析 為了進一步闡述前面的方法和結論，考慮如下雙線性模糊系統(tǒng)： 1:: ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 , 2iii i iiR if y is MT he n x t A x t B u t N x t u ty t C x t i? ? ? ??? 其中： 1 2 1 2 1 29 7 8 1 0 3 1 0 1 0 1 0。在本文中假設： 1( ( ) ) 0 , ( ( ) ) 0siiiy t y t?????? 。文 [14]研究了一類連續(xù) FBS 系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題，并把結果推廣到了帶有時滯的 FBS 中 [15]。 static output feedback control。對于很多實際系統(tǒng)，當用線性系統(tǒng)模型不能描述時，往往可以用雙線性系統(tǒng)模型來描述。考慮靜態(tài)輸出反饋控制，這里假設 vq? 及11( ) ( ),...,t y t? ? ( ) ( )vqt y t? ? 。 1110 ( )0 0 0000T T Ti i lijlijQ Q A Q N C Qa Q Ib Q Ib Q B FI????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? （ 17） 證明：考慮： ( ) ( ) 0 0 000 00( ) ( )TllijlTi j i jC Q C QIIB F B F??????????? ? ??? （ 18） 假設有 0ijl ijl?? ? ? ，則可以得出： 0ijl??。給出了系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件，并把這種條件轉換成 LMIs 形式，使模糊控制器可以通過求解 LMI 而得到。 2 主要結果 定理 1：對于給定的 0?? 和常數(shù) ,ij i j I? ? ，如果存在著矩陣 0, ,iQ F i I??滿足下面矩陣不等式（ 7），則 DFBS（ 5）是漸近穩(wěn)定的。在矩陣表達式中，用“ ? ”來表示對稱項，用 I 來表示合適維數(shù)的單位矩陣。 關鍵詞 ：離散模糊雙線性系統(tǒng)；靜態(tài)輸出反饋控制；模糊控制；線性矩陣不等式； 0 引言 眾所周知，基于 TS 模型的模糊控制是研究非線性系統(tǒng)比較成功的方法之一，在穩(wěn)定性分析和控制器設計方面，已有很多成果面世 [1][10]。最后，通過仿真例子驗證了方法的有效性。 注 1：在本文中， nR 表示 n 維 Euclidean 空間， 0( 0)PP??表示是一個正定（正半定）實對稱矩陣。 （ 6 證明：考慮： 1 1 1 12 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )T T T TM P N N P M P M P N P N P M? ? ? 由文 [1]中引理 1： 1T T T TM N N M M M N N?? ?? ? ?，可得到： 1T T T TM PN N PM M PM N PN?? ?? ? ?。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 . 51 0 . 500 . 511 . 5時間 t ( S e c )x1系統(tǒng)的狀態(tài)響應0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502 1 . 51 0 . 500 . 51時間 t ( S e c )x2系統(tǒng)的狀態(tài)響應 圖 1：系統(tǒng)分別在初始狀態(tài)： [ ]（實線）、 [ ]（長劃線）下的狀態(tài)響應曲線 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 . 52 1 . 51 0 . 500 . 511 . 5時間 t ( S e c )控制器 u 輸出 圖 2：系統(tǒng) 分別在初始狀態(tài)： [ ]（實線）、 [ ]（長劃線）下的控制曲線 4 結論 本文對一類用 TS 模型表示的 DFBS 研究了靜態(tài)輸出反饋控制問題。 111111( ) ( ) 0 0 0()000000( ) ( )()0000 00TT T Tlli i i j lijl ijlTi j i jTTTliiijC Q C Q A Q N B F C QIaQIbQB F B FbQC Q A Q Na Q Ib Q IBFbQ???????????????????? ? ? ???? ? ?????? ? ?? ? ? ??? ?????????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??? ?0 0 ( )Tl i jC Q B F??? ?????????? ?（ 19） 由 Schur 補定理可知：（ 17）式等價于 0ijl ijl?? ? ? ，進一步可以得 0ijl??。 通過單點模糊化，乘積推理和中心平均反模糊化方法，模糊控制系統(tǒng)的總體模型為： 11( 1 ) ( ( ) ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]( ) ( ( ) ) ( )si i i iisiiix t h y t A x t B u t N x t u ty t h y t C x t??? ? ? ???? （ 2） 其中： 11( ( ) )( ( ) ) , ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) vii i ijsjiiyth y t y t y tyt? ??????? ?? ?？紤] TS 模型的有效性及雙線性系統(tǒng)的特點，對 TS 模糊雙線性系統(tǒng)（ FBS）的研究引起了很多學者的關注 [14][15]。 中文 2094 字 外文資料翻譯 Static Output Feedback Control for Discretetime Fuzzy Bilinear System Abstract The paper addressed the problem of designing fuzzy static output feedback controller for TS discretetime fuzzy bilinear system (DFBS). Based on parallel distribute pensation method, some sufficient conditions are derived to guarantee the stability of the overall fuzzy system. The stabilization conditions are further formulated into linear matrix inequality (LMI) so that the desired controller can be easily obtained by using the Matlab LMI toolbox. In parison with the existing results, the drawbacks such as coordinate transformation, same output matrices have been eliminated. Finally, a simulation example shows that the approach is effective. Keywords discretetime fuzzy bilinear system (DFBS)。和常用的 TS 模糊模型不同的是， FBS 的模糊規(guī)則的后件部分由一個雙線性函數(shù)表示， FBS 的局部動態(tài)可由雙線性狀態(tài)空間模型表示。 ( ( ))ij yt? 是 ()j 在 ijF中隸屬度函數(shù)。根據(jù)定理 1，則可知在靜態(tài)輸出反饋器下，系統(tǒng)（ 5）是漸近穩(wěn)定的。由仿真結果可以看出，在所設計 的控制器下，系統(tǒng)狀態(tài)變量在 17秒后趨于平衡點。 在控制律（ 4）的作用下，整個閉環(huán)系統(tǒng)的方程可表示為：, , 11( ) ( )( ) ( )si j l ijli j lsiiix t h h h x ty t h C x t??????? （ 5） 其中： c os si nij l i i j l j i jA B F C N? ? ? ?? ? ? ? 以下給出在證明中要用到的引理： 引理 1： 設 ,MN是維數(shù)適合的實矩陣 , 0P? 是正定對稱矩陣，則對于標量 0?? ，有如下不等式成立： 1T T T TM PN N PM M PM N PN?? ?? ? ?。最后，由數(shù)例仿真驗證了結果的有效性。和現(xiàn)有的文獻相比，這種方法不要求相同的輸出矩陣和相似轉換等條件。然而大部分控制器是關于狀態(tài)反饋或基于觀測器的狀態(tài)反饋 [1][3]，關 于輸出反饋的結果則很少 [4][10]。用 , , 1si j y?? 來表示 1 1 1s s si j y? ? ?? ? ? 。 111()00 00T T Ti i i j lijlQ QA QN B F C QaQbQbQ??????????? ? ?? ? ?? ? ? ??? （ 7） 其中： 211 , (1 )ij ijab? ? ? ?? ? ? ?。這種方法不要求系統(tǒng)的輸出矩陣相同，也不需要相似轉換。 定理 2：對于給定的 0?? 和常數(shù) ,ij i j I? ? ，如果存在著矩陣0, ,iQ F i I??滿足下面線性矩陣不等式（ 17），則 DFBS（ 5）是漸近穩(wěn)定的。 ,i i iA B N 是已知合適維數(shù)的系統(tǒng)矩陣。 雙線性系統(tǒng)是一類比較特殊的非線性系統(tǒng)，它的模型比一般的非線性系統(tǒng)模型結構簡單，描