【正文】 （ 2） 21 10y x + x 833??＝ 。 用心 愛心 專心 33 ∵∠BAC= 100（可由兩直角三角形得到）， ∴ 根據(jù)同弧所對圓周角是圓心角一半的性質(zhì)，得 ∠BOC=2 ∠BAC= 200。 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得 ∠AOF ＝ 1350， ∴∠FOM ＝ 450。 當(dāng) x=2時(shí)， y=2 4 2? 。 6. （ 2020江蘇淮 安 12分） 如圖，矩形 OABC在平面直角坐標(biāo) 系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A（ 0， 4）， C（ 2， 0），將矩形 OABC繞點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 1350，得到矩形 EFGH（點(diǎn) E與 O重合） . （ 1） 若 GH交 y軸于點(diǎn) M，則 ∠FOM ＝ ， OM= （ 2）矩形 EFGH沿 y軸向上平移 t個(gè)單位。 ∴∠E’BD=∠DBE 。 ② 如圖 2， 當(dāng) P在 AC上運(yùn)動至點(diǎn) C， △ABC 繞點(diǎn) B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn) P的對 應(yīng)點(diǎn) P1在線段 AB的延長線上時(shí)， EP1最大 。 ∴∠CC 1A1=∠CC 1B+∠A 1C1B=45176。 ∵AC=A′C ， CD=CB′ ， ∴AB′=A′D 。 ，可得出 ∠EDF=∠MDF ，再由 DF=DF，利用 SAS可得出三角形 DEF與三角形 MDF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出 EF=MF。 得到 △ DCM， ∴ DE=DM， ∠ EDM=90176。 （ 2）首先由已知得出 △APD≌△CPD ，從而得出 ∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180176。 － α 。 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。 ∵△ABC 是等邊三角形， BC=10， ∴AC= BC=10。 ③ 當(dāng)正三角形 AEF在 正方形 ABCD的外部，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)大于 1800時(shí)，如圖 3， 同上可得 △ABE≌△ADF （ SSS）。 【分析】 正三角形 AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解： ① 當(dāng)正三角形 AEF在正方形 ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖 1， ∵ 正方形 ABCD與正三角形 AEF的頂點(diǎn) A重合， ∴AB=AD ， AE=AF。 【分析】 在 Rt△ABC 中，由勾股定理求得 AB=10，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 AD=AD′ ，設(shè) AD=AD′=BE=x ，則 DE=102x，根據(jù)旋轉(zhuǎn) 90176。 ，則點(diǎn) B′ （﹣ 1，﹣ 2）， ② 如果 △AOB 是順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 【分析】 ∵∠A=30176。 ， ∴△AA′C 是等邊三角形。=30176。 或由 A（ 0， 1）， D（﹣ 2，﹣ 3），根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等的性質(zhì)得點(diǎn) P的坐標(biāo)為 （ 0 2 1 322?? ， ），即（﹣ 1，﹣ 1）。 又 ∵△ABD 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與 △ACE 重合， ∴AB 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 ∠BAC 到 AC的位置。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)對稱圖形。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正方形的性質(zhì)。 ∴ 0AOB 30??。 ∴ 結(jié)論 ② 正確。 ∴DB=AC=1 ， OD=OC= 3 。 ，即旋轉(zhuǎn)角是 90176。 ∵ 將正六邊形 ABCDEF繞點(diǎn) F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá) A′B′C′D′E′F′ 的位置， ∴∠EFE′ 是旋轉(zhuǎn)角， ∴ 所轉(zhuǎn)過的度數(shù)是 60176。故選 C。 ， OB′=OB=2 。 ∴ 在直角三角形 OCN中， OCcos OCN= CN? ，即 1 OC=2 CE 。 12. （ 2020山東日照 3分） 如圖，在 4179。 由旋轉(zhuǎn)可得： PD=PE， ∠DPE=90176。 ∴DE=AD?tan∠DAE= 33 a?！?P′ A： PB=x： 2x=1： 2。 又∵△ ABC是等腰直角三角形， ∴ AB=BC，∠ CBP′ +∠ ABP′ =90176。 故結(jié)論 ⑤ 正確。 ∴△BO′A≌△BOC 。 。=80176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理。 。 ， ∠BAC=30176。 C ． 40176。 后得到 △A′B′C′ ， ∴∠ACA′=50176。 ， ∴∠AOB′=∠A′OA － ∠A′OB=45176。 ∵ 線段 BO以點(diǎn) B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 如圖所示，將 △AOB 繞點(diǎn) A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 等腰直角 三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 設(shè) P′ A=x，則 AP=3x， 在 Rt△ APP′中， ? ? 22 2 2PP A P P A 3 x x 2 2 x? ? ? ? ? ? ?。 ， ∠BAD=90176。 。 ， ∴∠CBE=45176。 ∵∠ECD=45176。 用心 愛心 專心 9 ∴∠AOB′=∠BOB′ ﹣ ∠AOB=105176。 在 Rt△AB′D 中， ∵∠A=30176。 － 120176。 － 45176。 ∴∠BOD=30176。 設(shè) AB=AC=a， AE=b，則 AF=BE= a－ b。 【分析】 如圖，過點(diǎn) A作 AC⊥ ｘ軸于點(diǎn) C, 過點(diǎn) B作 BD⊥ ｙ軸于點(diǎn) D。 【分析】 由在等邊三角形 ABC中 ， AB=6， D 是 BC 上一點(diǎn)，且 BC=3BD，根據(jù)等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，即可求得 BD=13 BC=13 AB =2。 后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 2）。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)。 得到 △DEF ， ∴△ABC 和 △DEF 關(guān)于點(diǎn) P中心對稱。 。 ， ∠ABC=30176。 14. （ 2020廣西玉林、防城港 3分） 如圖，兩塊 相同的三角板完全重合在一起， ∠A=30176。 用心 愛心 專心 20 【分析】 當(dāng) y=0時(shí)， 3x 3 02 ??﹣，解得 x=2；當(dāng) x=0時(shí)， y=3。 18. （ 2020河南省 5 分） 如圖，在 Rt△ABC 中， ∠C=90 0， AC=6， BC=8，把 △ABC 繞 AB邊上的點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 或 165176。 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， 等邊三角形的判定和性質(zhì) ?！噙^ A 、 B 兩點(diǎn)的直線解析式為 y=3x＋ 5。 三 、 解答 題 1. （ 2020北京 市 7分） 在 ABC△ 中， B A =B C B A C? ? ?， ， M是 AC的中點(diǎn)， P是線段 BM上的動點(diǎn)， 將線段 PA繞點(diǎn) P順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 2? 得到線段 PQ。 － 2α ，即 2∠CDB=180176。 。 ，得到 △DCM 。 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn) 的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理， 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)可得 DE=DM， ∠EDM 為直角，可得出 ∠EDF+∠MDF=90176。 （ 2） ∵AC=A′C ， ∴ 點(diǎn) C在 AA′ 的垂直平分線上。 ，將 △ABC 繞點(diǎn) B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到 △A 1BC1． （ 1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) C1在線段 CA的延長線上時(shí)，求 ∠CC 1A1的度數(shù)； （ 2）如圖 2，連接 AA1， CC1．若 △ABA 1的面積為 4，求 △CBC 1的面積； （ 3）如圖 3，點(diǎn) E為線段 AB中點(diǎn)，點(diǎn) P是線段 AC上的動點(diǎn)，在 △ABC 繞點(diǎn) B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn) P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn) P1，求線段 EP1長度的最大值與最小值． 用心 愛心 專心 27 【答案】 解：（ 1） ∵ 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得： ∠A 1C1B=∠A CB=45176。= 522 。). 求證： DE2=AD2+EC2. 【答案】 證明：（ 1） ∵△BE’A 是 △BEC 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) ∠ABC 得 到， ∴BE’=BE ， ∠E’BA=∠EBC 。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰（直角）三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。 在 Rt△OTG 中，由勾股定理，得 ? ? ? ?222x + 2 2 + x = 2 5，解得 x= 2 。 ∴ ? ? ? ? ? ?2 21 1 1S t 2 + t 2 t 2 2 = t + 2 + 2 2 t 62 2 2? ? ? ? ? ? ?。 【分析】 （ 1）如圖 1， ∵ ∠AOP=45 0，點(diǎn) A在 y軸上， ∴ 點(diǎn) A關(guān)于直線 OP 的對稱點(diǎn) B在 x軸上。2= － 4＜ 0， ∴ 此方程無解。 又 DA=4， CD=8， ① 若點(diǎn) M在點(diǎn) N上方， MN NACD DA? ，則 △AMN∽△ACD 。 ∴ 路徑長為： 2n 2 n=180 45???? 。又由 △DOI是等腰直角三角形可得 OI=OD=2。 用心 愛心 專心 31 ∴ （ I）當(dāng) 0t≤2 時(shí)，矩形 EFHG與矩形 OABC重疊部分的面積為 △OCS 的面積（如圖6）。 （ 2） ① 如圖 1，設(shè)直線 HG 與 y軸交于點(diǎn) I。 （ 2）以點(diǎn) B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 △BEC 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90176。 用心 愛心 專心 28 【分析】 （ 1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ A1C1B=∠ ACB=45176。 。 ∴ 點(diǎn) E也在 AA′ 的垂直平分線上。 得到正方形 A′B′CD′ （此時(shí)，點(diǎn) B′ 落在對角線 AC上，點(diǎn) A′ 落在 CD的延長線上）， A′B′ 交 AD于點(diǎn) E，連接 AA′ 、 CE． 求證：（ 1） △ADA′≌△CDE ； （ 2）直線 CE是線段 AA′ 的垂直平分線． 用心 愛心 專心 26 【答案】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴AD=CD ， ∠ADC=90176。 。 － α ，且 PQ=QD， ∴∠PAD=∠PCQ =∠PQC=2∠CDB=180176。 。 在 △APD 與 △CPD 中， ∵AD=CD ， PD=PD， PA=PC ∴△APD≌△CPD （ SSS）。 。 ∴DE=BD=9 。 ， ∠BAE=90176。 ∵∠EAF=60176。 用心 愛心 專心 21 ∵△ABC 繞 AB邊上的點(diǎn) D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 17. （ 2020 廣西 來賓 3 分） 如圖，在直角 △OAB 中， ∠AOB=30176。 ， BC=BC′= 12 AC=5。 ∴∠A′CB=∠A′BC=30176。 12. （ 2020貴州遵義 4分） 如圖，將邊長為 2 cm的正方形 ABCD沿直線 l向右翻動（不滑動），當(dāng)正方形連續(xù)翻動 6次后，正方形的中心 O經(jīng)過的路線長是 ▲ cm．（結(jié)果保留 π ） 【答案】 3π 。 ．若Rt△ABC 由現(xiàn)在的位置向右滑動地旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) A第 3次落在直線 l上時(shí)，點(diǎn) A所經(jīng)過的路線的長為 ▲ （結(jié)果用含有 π 的式子表示） 11. （ 2020貴州六盤水 4分） 兩塊大小一樣斜邊為 4且含有 30176。 8. （ 2020福建泉州 4分） 如圖，在矩形 ABCD中， AB=1， AD=2，將 AD繞點(diǎn) A順時(shí)針 ． ． ． 旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) D落在 BC上點(diǎn) D′ 時(shí)，則 AD′ = ▲ ， ∠A D ′ B= ▲ 176。 。4=90176。 綜上所述，點(diǎn) A的對應(yīng)點(diǎn) A′ 的坐標(biāo)為 (－ l，－ 3 )或 (－ 2， 0)。 用心 愛心 專心 12 ∴EF=EO ＋ OF≥GD ＋ AG=AD。 19. （ 2020黑龍江黑河、齊齊哈爾、大興安嶺、雞西 3分） Rt△ABC 中， AB=AC，點(diǎn) D為 BC中點(diǎn)． ∠MDN=90 0，∠MDN 繞點(diǎn) D旋轉(zhuǎn)， DM、 DN分別與邊 AB、 AC交于 E、 F兩點(diǎn)．下列結(jié)論 ①(BE+CF)= 22 BC， ②AEF ABC1SS4???， ③ AEDFS ?四 形邊 AD178。 18. （ 2020黑龍江大慶 3分） 平面直角坐標(biāo)系中， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo) 為 ( 3 ， 1)，將 OA 繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 30176。 17. （ 2020青海西寧 3分） 如圖， E、 F分別是正方形 ABCD的邊 BC、 CD上的點(diǎn)， BE＝ CF，連接 AE、 BF．將 △ABE 繞正方形的對角線的交點(diǎn) O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到 △BCF ，則旋轉(zhuǎn)角是【 】 A． 45186。 C． 108176。 ∴ 點(diǎn) B′ 的坐標(biāo)為：（ 22? ， ）。 14. （ 2020山東 泰安 3分） 如圖，菱形 OABC的頂點(diǎn) O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn) A在 x軸上， ∠B=120176。 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計(jì)算。 ∴∠ADP=∠EPF 。故選 D。 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 ∴ AP=P′ C。 7. （ 2020湖南岳陽 3分） 如圖，兩個(gè)邊長相等的正方形 ABCD和 EFGH，正方形 EFGH的頂點(diǎn) E固定在正方形 ABCD的對稱中心位置，正方形 EFGH繞點(diǎn) E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)它們重疊部分的面積為 S，旋轉(zhuǎn)的角度為 θ ， S與 θ 的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是【 】 A． B． C． D． 【答案】 B。故結(jié)論 ① 正確。 【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。 后得到 △A ＇ OB＇，若 ∠AOB=15176。 。 設(shè)點(diǎn) B掃過的