【正文】 其中有兩類特殊的間斷點(diǎn)：無窮 間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 例 5 判斷函數(shù)????????0,10,1s in)(xxxxxf 在點(diǎn) 0?x 處的連續(xù)性。 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義 定義 4：如果函數(shù) y ＝ )(xf 在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都是連續(xù)的（如果此區(qū)間包含端點(diǎn)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn) 處左連續(xù)），則稱函數(shù) y ＝ )(xf 在該區(qū)間上是連續(xù)的。由于 )(lim xfx ???存在，故必存在 aX? ，使當(dāng) XxXx ????? ,時(shí)，恒有 ? ? ? ? ????? xfxf 。39。39。39。109??? 由表達(dá)式（ 1）可知，對于不論怎樣小的正數(shù) ?（固定），則當(dāng) ??? )( 0xx 及 00?x時(shí)， )()( 0xfxf ? 可任意地 大 .因此，無法選出一個(gè)公共的正數(shù) ? 來 . 函數(shù)在區(qū)間 I 上一致連續(xù) 若對任給 0?? ，存在 0?? ，使得當(dāng) Ixx ?21, ，且 ??? 21 xx 時(shí)，就有??? )()( 21 xfxf . 例 圓柱形鞘筒之寬度為 ? ，長度為 ? ，將鞘筒套在曲線 3 xy? 上且沿此曲線滑動，但筒之軸須保 持平行于 Ox 軸 .為了使此筒順利地經(jīng)過此曲線上由不等式 1010 ??? x 所 限 定 的 部 分 ， 問 ? 應(yīng) 等 于 什 么 ？ 設(shè)???? )4(。 第 13 周 完成畢業(yè)設(shè)計(jì)論文。 問題 . 對計(jì)劃的說明 學(xué)生必須嚴(yán)格按照計(jì)劃進(jìn)度完成論文 ,如有更改需經(jīng)過指導(dǎo)老師同意 . 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )開題報(bào)告 系 專業(yè) 級 班 課題名稱： 關(guān)于函數(shù)連續(xù)點(diǎn)及不連續(xù)點(diǎn)的討論 學(xué)生姓名： 學(xué)號： 指導(dǎo)教師： 報(bào)告日期： 20200320 1． 本課題所涉及的問題及應(yīng)用現(xiàn)狀綜述 自然界中許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、動植物的生長等等都是連續(xù)的變化著的，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反應(yīng)就是函數(shù)的連續(xù)性。 2. 完成畢業(yè)論文。 第 10 周 提供畢業(yè)論文初稿。 第 06 周 對所討論結(jié)果進(jìn)行分析，提出改進(jìn)方向。在此課題的分析會遇到一些難題，只要利用好函數(shù)連續(xù)性的知識，相信會的到一個(gè)可行的正確結(jié)果。39。39。39。 xx ??1 當(dāng) ? 1? 時(shí)， 41?? ； ??2 當(dāng) ?? 時(shí)， 。 定義２：設(shè)函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限存在，即 )()(lim 00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)。所以 1?x稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)。 22 參考文獻(xiàn) [1] 費(fèi)定暉，周學(xué)圣 .吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集解析 山東科學(xué)技術(shù)出版社 [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析（第三版上冊） 高等教育出版社 [3] 李峰杰 關(guān)于函數(shù)的一致連續(xù)問題 煙臺師范學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020， 17（ 4）：305309 [4] 王向東 數(shù)學(xué)分析的概念與方法（上冊） .上海：上海科學(xué)技 術(shù)文獻(xiàn)出版社 .1989. [5] 劉玉鏈傅沛仁 :數(shù)學(xué)分析講義 [6] 樊映川 :高等數(shù)學(xué)講義 。不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)。所以， 1?x 是函數(shù)的間斷點(diǎn)。（增量可正可負(fù)）。 xx 時(shí)，恒有 ???3 39。39。339。 yy? ，由于 239。函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因?yàn)橐部梢灾苯佑迷擖c(diǎn)的極限來判斷函數(shù)在此點(diǎn)是否連續(xù)或間斷，間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn)，然后通過判斷得出間斷點(diǎn)和連續(xù)點(diǎn)，再比較討論間斷點(diǎn)和連續(xù)點(diǎn)之間的判斷方法和聯(lián)系。 第 04周 完成問題分析報(bào)告。 第 08 周 進(jìn)行分析和比較，提出較合理的研究方法。 第 03 周 學(xué)習(xí)討論函數(shù)連續(xù)性的基本技巧。 2． 本課題需 要重點(diǎn)研究的關(guān)鍵問題、解決的思路及實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的可行性分析 關(guān)鍵問題：在研究普通函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，需要判斷其是否在某一區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)或一直連續(xù)，通過判斷來確定函數(shù)是否一致連續(xù)。 4． 指導(dǎo)教師審閱意見 同意開題 指導(dǎo)教師 (簽字 )： 年 月 日 說明： 本報(bào)告必須由承擔(dān)畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) )課題任務(wù)的學(xué)生在畢業(yè)論文 (設(shè)計(jì) ) 正式開始的第 1 周周五之前獨(dú)立撰寫完成，并交指導(dǎo)教師審 閱。)2(。39。339。39。 令 }.1,min{?? ?? 現(xiàn)設(shè) xx ??, 為滿足 ,?????xa ,??????xa ???? xx ?? 的任何兩點(diǎn)。 函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足三個(gè)條件： （ 1）在點(diǎn) 0x 及其附近有定義； （ 2）極限 )(lim0 xfxx?存在； （ 3） )()(lim00 xfxfxx ??。所以函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x 處間斷。四年的求學(xué)生涯在師長、親友的大力支持下，走得辛苦卻也收獲滿囊，在論文即將付梓之際， 我要感謝那些幫助過我的人。　　， ???? ? 11lim1 1 xx x（ 2）若 )0( 0 ?xf ? )0( 0 ?xf ，即 )(lim0 xfxx?不存在，此類間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)。 所以， )(lim0 xfx?不存在。 顯然，函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù) ?函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連 續(xù) 。 nnxx nn 但是， 039。 yy ，只要 4 339。39。39。105??? ②當(dāng) ?x 時(shí)， 。 第 11 周 對畢業(yè)論文進(jìn)行修改，并進(jìn)行后期檢查。 主要參考書目 (資料 ) 1．陳建功著，實(shí)函數(shù)論，科學(xué)技出版社，北京， 1978 年 9 月第三次印刷。 本人完全清楚本聲明的法律后果，申請學(xué)位論文和資料若有不實(shí)之處，本人愿承擔(dān)相應(yīng)的法律責(zé)任。 第 12 周 畢業(yè)設(shè)計(jì)論文。 第 08 周 對所獲得的結(jié)果進(jìn)行分析和比較，提出較合理的改進(jìn)。若函數(shù)在區(qū)間 I 內(nèi)的任一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱 )(xf 為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . 函數(shù)在區(qū)間 I 上連續(xù) 若對任給 Ix?1 ，任給 0?? ，存在 0?? 使得當(dāng) Ix?2 且 ??? 21 xx 時(shí)，就有??? )()( 21 xfxf . 例 設(shè) xxf 1)( ? 和 ?? .對于數(shù)值 。39。39。 44 xxyy ??? 對于任給的 0?? ，要 ??? 39。 10???? ??4 當(dāng) ? 為任意小數(shù)時(shí)， ).1(43 ?? ??? 5 函數(shù)在區(qū)間 I 上絕對連續(xù) 設(shè) f 為定義在閉區(qū)間 ? ?ba, 上的實(shí)值函數(shù)，若對任給 0?? ，存在 0?? ，使得對任意 ??Nn ，當(dāng) ?ii yx, ? ?ba, ， ,??? ii yx 則稱函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ? ?ba, 上絕對連續(xù) . 例 設(shè) f 是閉區(qū)間 ? ?ba, 上的 Lebsgue 可積函數(shù)，則 f 的不定積分 ? ? ? ? CdttfxF xa ?? ? （其中 C 是任意常數(shù)）是閉區(qū)間 ? ?ba, 上的絕對連續(xù)函數(shù) . 證明： 由積分的絕對連續(xù)性 ,對任意的 0?? ，存在 0?? ，使得對 ? ?ba, 中的任 意可測集 A，當(dāng) ? ? ??Am 時(shí)， ? ? ??? dttfA,于是對閉區(qū)間 ? ?ba, 上的任意有限個(gè)互不相交的開區(qū)間 ? ?? ?niii ba 1, ? ，當(dāng) ? ? ?????ni ii ab1時(shí)，令 ? ??ni ii baA 1 ,??，則? ??Am ? ? ?????ni ii ab1,于是 ? ? ? ?????ni ii aFbF1 ?????nibaiidttf1? ?? ???? dttfnibaii1?? ??? dttfA 因此 F 是 ? ?ba, 上的絕對連續(xù)函數(shù) . 6 二 相關(guān)概念的比較 及例題分析 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與在區(qū)間上一致連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系 ： 函數(shù)的連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別在于 ? 的選取是否與 1x 或 2x 有關(guān) .若函數(shù) f 在區(qū)間 I 上連續(xù)，是用在區(qū)間 I 上每點(diǎn)處都連續(xù)來定義的，因此， ? 的選取與 1x 的選取無關(guān) .而一致連續(xù)性不然， ? 的選取只與 ? 的大小有關(guān)，與 1x ， 2x 的選取無關(guān)，這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性不僅要求函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的每一點(diǎn)都連續(xù)，而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是 “ 一致 ” 的，這是對函數(shù)的 “ 整體性 ” 的要求的增強(qiáng) .函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件 .函數(shù)一致連續(xù)性的實(shí)質(zhì)，就是當(dāng)這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)彼此靠近的點(diǎn)上的值的差，就絕對值來說，可以任意小，即任意的 21,xx ，當(dāng) ??? 21 xx 時(shí)就有 ??? )()( 21 xfxf .一般地，函數(shù)的連續(xù)性以及一致連續(xù)性反映的是函數(shù)的自變量的變化與函數(shù)值變化之間的關(guān)系，與可微性無關(guān) .總的來說，函數(shù) f 在一點(diǎn)處的連續(xù)性是局部性質(zhì)，而函數(shù) f 在區(qū)間 I 上的連續(xù)性和一致連續(xù)性等表示 整體性質(zhì) .例如函數(shù) xxf 1)( ? 在區(qū)間 ? ?1,0 就是如此 . 但是函數(shù)在某些條件下是一致的，我們從定理中可以得到，如： ?函數(shù) )(xf在 ? ?ba, 上連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù) )(xf 在 ? ?ba, 上一致連續(xù)。 注： 上述的三個(gè)定義在本質(zhì)上是一致的，即函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 連續(xù)，必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（ 1） 函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義（函數(shù) y ＝)(xf 在點(diǎn) 0x 有定義），（ 2） )(lim0 xfxx?存在；（ 3） )()(lim00 xfxfxx ??。 解 因?yàn)楹瘮?shù)xxf 1sin)( ?在 0?x 點(diǎn)無定義；當(dāng) x ?0 時(shí)，函數(shù)值在 1 與 1 之間振蕩xxf 1s