【正文】 限 ? ?00 ?xf 及右極限 ? ?00 ?xf 都存在，那么 0x 稱為函數(shù) ??xf 的第一類間斷點(diǎn)．不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為 第二類間斷點(diǎn)．在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)．無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)． 例 1 確定 a、 b 使????????????0,1s in0,0,s in)(xbxxxaxxxxf在 0?x 處連續(xù)． 解 ： )(xf 在 0?x 處連續(xù) )(lim0 xfx ??? )(lim0 xfx ??? )0(f? 因?yàn)?bbxxxf xx ??????? ?? ?? ?? 1s inlim)(lim 00 ； 1s inlim)(lim 00 ?? ?? ?? x xxf xx ； af ?)0( 所以 1??ba 時(shí)， )(xf 在 0?x 處連續(xù)． 例 2 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并進(jìn)行分類 11)( 2??? xxxf 分析 ：函數(shù)在 1??x 處沒有定義，所以考察該點(diǎn)的極限． 解 ：因?yàn)? 2)1(lim11lim 121 ?????? ???? xxx xx ，但 )(xf 在 1??x 處沒有定義 所以 1??x 是第一類可去間斷點(diǎn)． ????????.0,1,0,1s in)(xxxxxf 分析 ： 0?x 是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，考察該點(diǎn)的極限． 解 ：因?yàn)? 01sinlim0 ?? xxx ，而 1)0( ?f 所以 0?x 是第一類可去間斷點(diǎn)． 總結(jié) ：只要改 變或重新定義 )(xf 在 0x 處的值，使它等于 )(lim0 xfxx? ，就可使函數(shù)在可去間斷點(diǎn) 0x 處連續(xù)． 18 ??? ?? ??? .0,1 ,0,1)( xx xxxf 分析 ： 0?x 是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，且分段點(diǎn)左右兩側(cè)表達(dá)式不同，考察該點(diǎn)的左、右極限． 解 ：因?yàn)? 1)1(lim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ； 1)1(lim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx 所以 0?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn)． xxf 1arctan)( ? 分析 ：函數(shù)在 0?x 處沒有定義，且左、右極限不同，所以考察該點(diǎn)的單側(cè)極限． 解 ：因?yàn)? 21a rc t a nlim)(lim 00 ??? ?? ?? xxf xx ； 21a rc t a nlim)(lim 00 ???? ?? ?? xxf xx 所以 0?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn)． xexf 1)( ? 解 ：因?yàn)? ???? ?? ?? xxx exf 100 lim)(lim 所以 0?x 是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn) xxf 1sin)( ? 解 ： xxf xx 1sinlim)(lim 00 ?? ? 極限不存在 所以 0?x 是第二類振蕩間斷點(diǎn) 求 xxxf sin)( ? 的間斷點(diǎn)，并將其分類． 解 ：間斷點(diǎn)： ),2,1,0( ?????? kkx ? 當(dāng) 0?x 時(shí)，因 1sinlim0 ?? xxx ，故 0?x 是可去間斷點(diǎn)． 當(dāng) ),2,1( ?????? kkx ? 時(shí)，因 ??? xxkx sinlim? ，故 ),2,1( ?????? kkx ? 是無(wú)窮間斷點(diǎn)． 小結(jié) 與思考 ： 本節(jié)介紹了函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)的分類． 19 求 nn xxxf 211lim)( ??? ?? 分析： 通過極限運(yùn)算，得到一個(gè)關(guān)于 x 的函數(shù)，找出分段點(diǎn)，判斷． ????????????????.1,01,11,011,1)(xxxxxxf 解 ：因?yàn)?00lim)(lim 11 ?? ?? ?? xx xf ； 2)1(lim)(lim 11 ??? ?? ?? xxf xx 所以 1?x 是第一類跳躍間斷點(diǎn) 因?yàn)?0)1(lim)(lim 11 ??? ?? ???? xxf xx ； 00lim)(lim 11 ?? ?? ???? xx xf ； 0)1(?f 所以 1??x 是連續(xù)點(diǎn)． 20 結(jié) 論 通過對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性相關(guān)概念及其應(yīng)用的系統(tǒng)研究，充分掌握了函數(shù)連續(xù)性的知識(shí)體系，由此可以歸納出課程中有關(guān)函數(shù)導(dǎo)數(shù)及連續(xù)性連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)的理論基礎(chǔ)；此外，充分掌握了函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)后也可以更好的系統(tǒng)研究復(fù)變函數(shù)以及實(shí)變函數(shù)的知 識(shí)體系 .此次對(duì)函數(shù)連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn) 的討論 讓我更深的體會(huì)到了函數(shù)連續(xù)性的相關(guān)知識(shí)是數(shù)學(xué)研究中的根基 . 21 致 謝 四年的 大學(xué) 生活即將 在這個(gè)炎熱的季節(jié) 劃上一個(gè)句號(hào)，而于我的人生卻只是又跳了一級(jí)臺(tái)階 ，我將面對(duì)又一次征程的開始。無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)。 解 顯然函數(shù)????????0,10,1s in)(xxxxxf 在點(diǎn) 0?x 點(diǎn)及其附近有定義，又 )(lim0 xfx? = 01sinlim0 ?? xxx ， 1)0( ?f , 因?yàn)?)0()(lim0 fxfx ??。所以 1?x稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。 函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處不連續(xù)，則稱 )(xf 在點(diǎn) 0x 處間斷，點(diǎn) 0x 叫做 )(xf 的間斷點(diǎn)。 定義２：設(shè)函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù) )(xf 當(dāng)0xx? 時(shí)的極限存在，即 )()(lim 00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)。 由于 )(xf 在 ? ?1, ?Xa 上連續(xù)，故一致連續(xù)，從而必有正數(shù) ?? 存在，使當(dāng)??x ? ?1, ?Xa ， ??x ? ?1, ?Xa ， ???? xx ?? 時(shí)恒有 ? ? ? ? ?????? xfxf 。 xx ??1 當(dāng) ? 1? 時(shí)， 41?? ； ??2 當(dāng) ?? 時(shí)， 。 ???xx 或 4339。39。339。39。39。39。0 0 )3(。在此課題的分析會(huì)遇到一些難題，只要利用好函數(shù)連續(xù)性的知識(shí)，相信會(huì)的到一個(gè)可行的正確結(jié)果。 第 14 周 完成畢業(yè)設(shè)計(jì)答辯。 第 06 周 對(duì)所討論結(jié)果進(jìn)行分析，提出改進(jìn)方向。 函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析的重要理論，弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和熟練掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法是學(xué)好這一理論的關(guān)鍵．函數(shù)的連續(xù)應(yīng)用的非常的廣泛，生物學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科都需要用到和函數(shù)連續(xù)息息相關(guān)的知識(shí)。 第 10 周 提供畢業(yè)論文初稿。 開始日期 20200304 完成日期 20200607 系主任 (簽字 ) 2020 年 3 月 20 日 西 安 郵 電 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論文 ) 工 作 計(jì) 劃 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 職稱 教授 系別 專業(yè) 題目 連續(xù)點(diǎn)及不連續(xù)點(diǎn)的討論 工作進(jìn)程 起止時(shí)間 工作內(nèi)容 第 01 周 學(xué)習(xí)關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，完成知識(shí)儲(chǔ)備 . 第 02 周 熟悉討論函數(shù)連續(xù)性的基本思想 ，提交畢業(yè)論文開題報(bào)告。 2. 完成畢業(yè)論文。 第 09 周 得到結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。 問題 . 對(duì)計(jì)劃的說(shuō)明 學(xué)生必須嚴(yán)格按照計(jì)劃進(jìn)度完成論文 ,如有更改需經(jīng)過指導(dǎo)老師同意 . 畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 )開題報(bào)告 系 專業(yè) 級(jí) 班 課題名稱： 關(guān)于函數(shù)連續(xù)點(diǎn)及不連續(xù)點(diǎn)的討論 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 報(bào)告日期： 20200320 1． 本課題所涉及的問題及應(yīng)用現(xiàn)狀綜述 自然界中許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動(dòng)、動(dòng)植物的生長(zhǎng)等等都是連續(xù)的變化著的，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)上的反應(yīng)就是函數(shù)的連續(xù)性。 第 05 周 完成問題分析報(bào)告。 第 13 周 完成畢業(yè)設(shè)計(jì)論文。之前學(xué)過一些有關(guān)函數(shù)連續(xù)的知識(shí)，但 是從來(lái)沒有討論過連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)的區(qū)別，連續(xù)的問題很廣泛，在接下來(lái)的課題中，我會(huì)通過已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和一些新的知識(shí)，來(lái)分析判斷連續(xù)點(diǎn)和間斷點(diǎn)之間的區(qū)別，通過一些實(shí)際的運(yùn)算和應(yīng)用來(lái)進(jìn)一步比較連續(xù)和間斷的差別和聯(lián)系。109??? 由表達(dá)式（ 1）可知，對(duì)于不論怎樣小的正數(shù) ?（固定），則當(dāng) ??? )( 0xx 及 00?x時(shí)， )()( 0xfxf ? 可任意地 大 .因此，無(wú)法選出一個(gè)公共的正數(shù) ? 來(lái) . 函數(shù)在區(qū)間 I 上一致連續(xù) 若對(duì)任給 0?? ，存在 0?? ，使得當(dāng) Ixx ?21, ，且 ??? 21 xx 時(shí)，就有??? )()( 21 xfxf . 例 圓柱形鞘筒之寬度為 ? ，長(zhǎng)度為 ? ，將鞘筒套在曲線 3 xy? 上且沿此曲線滑動(dòng)，但筒之軸須保 持平行于 Ox 軸 .為了使此筒順利地經(jīng)過此曲線上由不等式 1010 ??? x 所 限 定 的 部 分 ， 問 ? 應(yīng) 等 于 什 么 ？ 設(shè)???? )4(。39。39。22339。39。39。39。3 39。由于 )(lim xfx ???存在，故必存在 aX? ，使當(dāng) XxXx ????? ,時(shí)，恒有 ? ? ? ? ????? xfxf 。 1． 2 函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義 定義１：設(shè)函數(shù) y ＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果自變量 x 的增量x? = 0xx? 趨向于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增 y? ＝ )()( 0xfxf ? 也趨向于零，則稱函數(shù) y＝ )(xf 在點(diǎn) 0x 處連 續(xù)。 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義 定義 4：如果函數(shù) y ＝ )(xf 在某一區(qū)間上每一點(diǎn)都是連續(xù)的（如果此區(qū)間包含端點(diǎn)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn) 處左連續(xù)），則稱函數(shù) y ＝ )(xf 在該區(qū)間上是連續(xù)的。 )(lim1 xfx? =3，如果補(bǔ)充定義：令 3)1( ?f ，則 所給函數(shù)在 1?x 處連續(xù)。 例 5 判斷函數(shù)????????0,10,1s in)(xxxxxf 在點(diǎn) 0?x 處的連續(xù)性。在第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)。其中有兩類特殊的間斷點(diǎn)：無(wú)窮 間斷點(diǎn)和振蕩間斷