【正文】 h ＝ 13在四邊形 ABCD 中， ∠ D＝ ∠ DAB＝ 90176。B1＋ A2B0. 故 P(B)＝ P(A0 AB＝ 4， CD＝ 1， AD＝ 2. (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn) B， P 的坐標(biāo)； (2)求異面直線 PA 與 BC 所成角的余弦值； (3)若 PB 的中點(diǎn)為 M，求證：平面 AMC⊥ 平面 PBC. 21． (本小題滿分 12 分 )已知四棱錐 S－ ABCD 的底面 ABCD 是正方形， SA⊥ 底面 ABCD，E 是 SC 上的任意一點(diǎn)． (1)求證：平面 EBD⊥ 平面 SAC； (2)設(shè) SA＝ 4， AB＝ 2，求點(diǎn) A 到平面 SBD 的距離； 22． (本小題滿分 12 分 )如圖， M、 N、 P 分別是正方體 ABCD－ A1B1C1D1的棱 AB、 BC、DD1上的點(diǎn)． (1)若 BMMA＝ BNNC， 求證：無論點(diǎn) P 在 D1D 上如何移動(dòng)，總有 BP⊥ MN； (2)若 D1P： PD＝ 1∶ 2，且 PB⊥ 平面 B1MN，求二面角 M－ B1N－ B 的余弦值； (3)棱 DD1上是否總存在這樣的點(diǎn) P，使得平面 APC1⊥ 平面 ACC1？證明你的結(jié)論． 答案： 一、選擇題 1． D 2． B 設(shè)球的半徑為 R，則正方體的對角線長為 2R， 依題意知 43R2＝ 16a2，即 R2＝ 18a2， ∴ S 球 ＝ 4πR2＝ 4πS△ ABDS△ SBD. 19． (本小題滿分 12 分 )如圖所示，在三棱錐 P－ ABC 中， PA⊥ 平面 ABC， AB＝ BC＝CA＝ 3， M 為 AB 的中點(diǎn)，四點(diǎn) P、 A、 M、 C都在球 O 的球面上． (1)證明：平面 PAB⊥ 平面 PCM； (2)證明：線段 PC 的中點(diǎn)為球 O 的球心． 20． (本小題滿分 12 分 )如圖所示，四棱錐 P－ ABCD 中， PD⊥ 平面 ABCD， PA 與平面ABCD 所成的角為 60176。B2＋ A1B2＋ A118a2＝ πa22 .故選 B. 3． B 設(shè)高為 h，則由 2 2h2＋ 8＝ 63 可得 h＝ 2，也可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解． 4． A 易知 A選項(xiàng)由 m⊥ α， α∥ β? m⊥ β， n? β? m⊥ n，故 A選項(xiàng)命題正確． 5． D 設(shè)正方形邊長為 1，由題意易知 ∠ CBC1即為 AD與 BC1所成的角．設(shè) AC與 BD相交于 O，易知 △ CC1O 為正三角形，故 CC1＝ 22 ，在 △ CBC1 中，由余弦定理可得所求余弦值為 D. 6． B 命題甲正確，命題乙 不正確，命題丙不正確，故真命題個(gè)數(shù)為 1，應(yīng)選 B 7． C 將直觀圖還原得 ?OABC， ∵ O′ D′ ＝ 2O′ C′ ＝ 2 2 cm， OD＝ 2O′ D′ ＝ 4 2 cm， C′ D′ ＝ O′ C′ ＝ 2 cm， ∴ CD＝ 2 cm， OC＝ CD2＋ OD2 ＝ 22＋ (4 2)2＝ 6 cm， OA＝ O′ A′ ＝ 6 cm＝ OC， 故原圖形為菱形． 8． B 以正三棱錐 O－ ABC 的頂點(diǎn) O 為原點(diǎn)， OA， OB， OC 為 x， y， z 軸建系， 設(shè)側(cè)棱長為 1， 則 A(1,0,0)， B(0,1,0)， C(0,0,1)， 側(cè)面 OAB 的法向量為 O＝ (0,0,1)， 底面 ABC 的法向量為 n＝ (13， 13， 13)， ∴ cos〈 O， n〉＝ ＝131SA， ∴ 63 2＝ 6. 設(shè)點(diǎn) A 到平面 SBD 的距離為 h， ∵ SA⊥ 平面 ABCD， ∴ 13. 其中正確的有 ________(把所有正確的序號都填上 )． 三、解答題 (本大題共 6 小題，共 70 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 ) 17． (本小題滿分 10 分 )如右圖所示，在四棱錐 P－ ABCD 中，底面 ABCD是矩形，側(cè)棱 PA 垂直于底面， E、 F 分別是 AB、 PC 的中點(diǎn)． (1)求證： CD⊥ PD； (2)求證： EF∥ 平面 PAD. 18． (本小題滿分 12 分 )在矩形 ABCD 中， AB＝ 1， BC＝ a，現(xiàn)沿 AC 折成二面角 D－ AC－ B，使 BD 為異面直線 AD、 BC 的公垂線． (1)求證：平面 ABD⊥ 平面 ABC； (2)當(dāng) a 為何值時(shí)，二面角 D－ AC－ B 為 45176。k4， 即 15k4＜ 120， ∴ k4＜ k 是正整數(shù)，故 k 只能取 1. 【答案】 1 16． 【解析】 由 log2xy＝ 1? 2x＝ y， ∵ x∈ {1,2,3,4,5,6}， y∈ {1,2,3,4,5,6}， ∴ x＝ 1， y＝ 2； x＝ 2， y＝ 4； x＝ 3， y＝ 6 共三種情況． ∴ P＝ 36 6＝ 112 【答案】 112 三、解答題 17． 【解析】 (1)設(shè)投資甲、乙、丙三個(gè)不同項(xiàng)目成功的事件分別為 A、 B、 C， P1＝ P(A B C ＋ A B C ＋ A B C) ＝ 23 13 14＋ 13 23 14＋ 13 13 34＝ 736. 所以恰有一個(gè)項(xiàng)目投資成功的概率為 736. (2)P2＝ 1－ P( A B C )＝ 1－ 13 13 14＝ 3536. 所以至少有一個(gè)項(xiàng)目投資成功的概率為 3536. 18． 【解析】 (1)∵ 第三小組的頻率為 ，頻數(shù)為 6， ∴ 參加測試的學(xué)生人數(shù)為： ＝ 60(人 )． (2)由圖可知，身高落在 [,)范圍內(nèi)人數(shù)最多，其人數(shù)為： 60 ＝ 18(人 )． (3)良好率為 1－ (＋ ＋ )＝ ， 即該校學(xué)生身高良好 率為 %. 19． 【解析】 (1)P＝ nm＝ 460＝ 15 ∴ 男、女同學(xué)的人數(shù)分別為 3,1. (2)把 3 名男同學(xué)和 1 名女同學(xué)記為 a1， a2， a3， b，則選取兩名同學(xué)的基本事件有 (a1，a2)， (a1， a3)， (a1， b)， (a2， a1)， (a2， a3)， (a2， b)， (a3， a1)， (a3， a2)， (a3， b)， (b， a1)，(b， a2)， (b， a3)共 12 種，其中有一名女同學(xué)的有 6 種； ∴ 選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為 P＝ 612＝ 12. (3) x 1＝ 68＋ 70＋ 71＋ 72＋ 745 ＝ 71， x 2＝ 69＋ 70＋ 70＋ 72＋ 745 ＝ 71 s21＝ ?68－ 71?2＋ ? ＋ ?74－ 71?25 ＝ 4， s22＝ ?69－ 71?2＋ ? ＋ ?74－ 71?25 ＝ ∴ 第二位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定 20． 【解析】 (1)設(shè)從 4 個(gè)白球， 5 個(gè)黑球中任取 3 個(gè)的所有結(jié)果組成的集合為 I. ∴ card(I)＝ C39. ∴ 共有 C39＝ 84 個(gè)不同結(jié)果． (2)設(shè)事件： “ 取出 3 球中有 2 個(gè)白球， 1 個(gè)黑球 ” 的所有結(jié)果組成的集合為 A. ∴ card(A)＝ C24C15. ∴ 共有 C24C15＝ 30 種不同的結(jié)果． (3)設(shè)事件： “ 取出 3 球中至少有 2 個(gè)白球 ” 的所有結(jié)果組成集合為 B. ∴ card(B)＝ C34＋ C24C15. ∴ 共有 C34＋ C24C15＝ 34 種不同的結(jié)