【正文】 17.（本小題滿分 12 分） 在 ABC? 中，內(nèi)角 A ， B ， C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是 a ， b ， c . （ I）若 2c? ， 3C ?? ，且 ABC? 的面積為 3 ，求 a ， b 的值； （ II）若 si n si n( ) si n 2C B A A? ? ?，試判斷 ABC? 的形狀 . 試題解析：（ I）∵ 2c? ， 3C ?? ，∴由余弦定理 2 2 2 2 c osc a b ab C? ? ? 得22 4a b ab? ? ? .． ．．．．．．．．．． 2分 又∵ ABC? 的面積為 3 ，∴ 1 sin 32 ab C ? ， 4ab? .． ．．．．．．．．．． 4分 聯(lián)立方程組 22 44a b abab? ? ? ?? ??，解得 2a? ， 2b? .． ．．．．． ．．．．． 6分 （ II）由 si n si n( ) si n 2C B A A? ? ?，得 si n( ) si n( ) 2 si n c osA B B A A A? ? ? ?， 即 2 si n c os 2 si n c osB A A A? ，∴ c os (si n si n ) 0A A B??.． ．．．．．．．．．． 8分 ∴ cos 0A? 或 sin sin 0AB??，當(dāng) cos 0A? 時(shí)， ∵ 0 A ???，∴2A ??， ABC? 為直角三角形； ． ．．．．．．．．．． 10 分 當(dāng) sin sin 0AB??時(shí)，得 sin sinBA? ，由正弦定理得 ab? ，即 ABC? 為等腰三角形 . ∴ ABC? 為等腰三角形或直角三角形 .． ． ．．．．．．．．． 12分 50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：． (I)求圖中 x 的值； (II)從成績(jī)不低于 80分的學(xué)生中隨機(jī)選取 2人，該 2人中成績(jī)?cè)?0分以上 (含 90 分 )的人數(shù)記為 ξ ，求 ξ 的數(shù)學(xué)期望． 解： (I)由題意得： 10x＝ 1－ (3 ＋ ＋ )10 ＝ ， 所以 x＝ .． ．．．．．．．．．． 4分 (II)∵ 成績(jī)不低于 80 分的學(xué)生共有 (＋ )1050 ＝12人，其中 90分以上 (含 90分 )的共有 1050 ＝ 3人，． ．．．．．．．．．． 6分 ξ 的可能值為 0,1,2， P(ξ ＝ 0)＝ C29C212 ＝611， p(ξ ＝ 1)＝C19C13C212 ＝922， P(ξ ＝ 2)＝C23C212 ＝122，． ．．．．．．．．．． 9分 ∴ ξ 的分布列為 ξ 0 1 2 P 611 922 122 ∴ Eξ ＝ 0 611＋ 1 922＋ 2 122＝ 12.． ．．．．．．．．．． 12 分 19.《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角 三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽(yáng)馬 P ABCD? 中，側(cè)棱 PD? 底面ABCD ，且 PD CD? ，過(guò)棱 PC 的中點(diǎn) E ，作 EF PB? 交 PB 于點(diǎn)F ，連接 , , , .DE DF BD BE （Ⅰ）證明： PB DEF?平 面 ．試判斷四面體 DBEF 是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由； （Ⅱ）若面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為 π3 ，求 DCBC 的值． 試題解析： （解法 1）（Ⅰ）因?yàn)?PD? 底面 ABCD ，所以 PD BC? ， 由底面 ABCD 為長(zhǎng)方形，有 BC CD? ，而 PD CD D? ， 所以 BC PCD?平 面 . 而 DE PCD?平 面 ，所以 BC DE? . ． ．．．．．．．．．． 2分 又因?yàn)?PD CD? ，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 DE PC? . 而 PC BC C? ，所以 DE? 平面 PBC . 而 PB PBC?平 面 ，所以 PB DE? . 又 PB EF? ， DE EF E? ，所以 PB? 平面 DEF . ． ．．．．．． ．．．． 4分 由 DE? 平面 PBC ， PB? 平面 DEF ，可知四面體 BDEF 的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體 BDEF 是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB DEF??， ， EFB DFB??， .． ．．．．．．．．．． 6分 （Ⅱ）如圖 1，在面 PBC 內(nèi)，延長(zhǎng) BC 與 FE 交于點(diǎn) G ，則 DG 是平面 DEF 與平面 ABCD 的交線 . 由（Ⅰ）知， PB DEF?平 面 ，所以 PB DG? . 又因?yàn)?PD? 底面 ABCD ，所以 PD DG? . 而 PD PB P? ，所以 DG PBD?平 面 . 故 BDF? 是面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的平面角， ． ．．．．．．．．．． 8分 設(shè) 1PD DC??， BC?? ，有 21BD ???， 在 Rt△ PDB中 , 由 DF PB? , 得 π3DPF FDB? ? ? ?, 則 2πt a n t a n 1 33 BDD P F PD ?? ? ? ? ? ?, 解得 2?? .． ．．．．．． ．．．． 11分 所以 12.2DCBC ???故當(dāng)面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為 π3 時(shí)， 22DCBC?.． ．．．． 12分 . （解法 2）（Ⅰ）如圖 2，以 D 為原點(diǎn)，射線 ,DADCDP 分別為 ,xyz 軸的正半軸，建立空間直 角 坐 標(biāo) 系 . 設(shè) 1PD DC??， BC?? ，則 ( 0 , 0 , 0) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( , 1 , 0) , ( 0 , 1 , 0)D P B C?，( ,1, 1)PB ???，點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 11(0, , )22E ， 11(0, , )22DE? ， ． ．．．．．．．．．． 2分 于是 0PB DE??，即 PB DE? . 又