新人教a版高中數(shù)學(xué)選修4-5用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式測(cè)試題(專業(yè)版)
【正文】 假設(shè)當(dāng) n=k(k≥2)時(shí)，原不等式成立，即2121111 kkkk ?????? ?1,則當(dāng) n=k+1 時(shí) ,左邊比 n=k時(shí)增添了 ???????????kkkkkk1)1(131211112222 ??????? ???????? ?? ?項(xiàng) 22212222 )1(11)1(121)1(1)2(1)1(1????????????????kkkkkkkkkkkk ?????? ??????? ???項(xiàng) 2)1( 1)1( ? ??? kkkk0(k≥2). 故當(dāng) n=k+1時(shí)，不等式成立 . 由 1176。 2176。 2176。,可知對(duì)任意 n∈ N,n≥1，原不等式成立 . 8已知不相等的正數(shù) a,b,c成等差數(shù)列，當(dāng) n1且 n∈ N時(shí)，試證明 an+2bn. 證明：（ 1）當(dāng) n=2時(shí)， ∵ a2+c22(2ca?)2=2b2,即命題成立 . （ 2）設(shè)當(dāng) n=k(k≥2)時(shí)，有 ak+ck2bk. 由于 a,c為正數(shù)，所以 (akck)與 ac同號(hào)，即（ akck） (ac)0,亦即 ak+1+ck+1akc+ack, ∴ ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)21(ak+1+ck+1+akc+ack) =21(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b2bk+1, 即 n=k+1時(shí)成立 . 由（ 1）、（ 2） ,知對(duì)于 n1且 n∈ N時(shí)命題成立 . 拓展探究 9已知 x10,x1≠1且 xn+1=13 )3( 22??nnn xxx(n=1,2,3,…) ，試證：數(shù)列 {xn}或者對(duì)任意 n∈ N都滿足xnxn+1，或者對(duì)任意 n∈ N都滿足 xnxn+1. 證明：由于 xn+1xn=13 )3( 22??nnn xxxxn=13 )1(2 22??n nnx xx且 x10,又由題設(shè)可知對(duì)任意 n∈ N,有 xn0,故 xn+1xn與 1xn2同號(hào)，于是應(yīng)分 x11與 x11兩種情況討論 . （ 1）若 x11,用數(shù)歸納法證明 1xn20. 1176。當(dāng) n=2時(shí)，左邊 = 1213413121 ??? 1,不等式成立 。當(dāng) n=1時(shí)， 1x120成立 . 2176。,可知對(duì)任意 n∈ N,原不等式成立 . 7設(shè) n1,n∈ N,證明21121111 nknnnn ????????? ??1. 證明
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