【正文】 對比圖 3 中車流密度與車速的演示圖可以發(fā)現(xiàn)，在同等條件下，車流密度逐漸增大，車輛速度就逐漸減小，但并不是簡單的線性變化，從圖中可以發(fā)現(xiàn)明顯的拐點，并且在添加紅綠燈的情形下 ，這個拐點會提早出現(xiàn)（本模型中無紅綠燈時在 ?? 時出現(xiàn)，有紅綠燈時在 ?? 時出現(xiàn) ），這也就解釋了安裝紅綠燈后會迫使汽車提前減速，為減少交通安全事故提供的保障。 道路上所有車輛的狀態(tài)同時按下述的 元胞 自動機規(guī)則變化 。 最大速度 本模型中的最大速度并不是 指車輛所能達到的最大設計車速 。 綜上， NS 模型給出了基于人類駕駛行為或外部條件改變而引起的正常速度的變化，它描述了駕駛者在加減速度時的反應過度，提供了產(chǎn)生自發(fā)性堵塞的關(guān)鍵因素。 （ 2）減速規(guī)則： ? ?( 2 ) ( 1 ) 1( ) m in ( 1 ) , ( ) ( )n n nv t v t ga p t v t?? ? ?。以下是 3 種不同的慢起動模型。 模型優(yōu)缺點 ： 從模擬結(jié)果看 ， NS 模型很好地反映了車流運動的宏觀特性 ， 主要表現(xiàn)在 ： (1)呈現(xiàn)起動 停車波現(xiàn)象 ， 即在空間 時間圖上 ， 可以清晰地看到車流逐漸由低密度下暢行到高密度下?lián)頂D的運動過程 ， 形象地表現(xiàn)出車流運動象波一樣在車隊中傳播的景象 ； (2)模擬得到了連續(xù)的流量 密度曲線 ， 與實測結(jié)果極為相似 ，顯示出交通流的兩種狀態(tài) —— 擁擠狀態(tài)和非擁擠狀態(tài)。 整個系統(tǒng)采用周期邊界條件以保持車輛數(shù)守恒。推算可知，當元胞空間維數(shù)增加時，一個元胞的直 接 鄰居數(shù)目是成指數(shù)增長， 描述了兩種鄰居的例子 ： 鄰居 4鄰居 3元胞鄰居 1鄰居 2鄰居鄰居元胞鄰居鄰居 鄰居 8鄰居 7鄰居 6鄰居 5元胞鄰居 4鄰居 3鄰居 2鄰居 1鄰居鄰居鄰居鄰居元胞鄰居鄰居鄰居鄰居 （ 3） 邊界條件 可以想見，一個無限網(wǎng)格的系統(tǒng)的演化是不可能進行模擬處理的。 實證研究表明 ， 交通流存在三相 ： 自由流 (free flow)、大范圍移動阻塞 (wide movingjams)和同步流 (synchronized flow)，還有一些“異?！爆F(xiàn)象 ， 如亞穩(wěn)態(tài) (metastable states)、滯回效應 (hysteresiseffect)、排隊消散 (platoon dispersion)等 ， 傳統(tǒng)模型對此難以解釋。 從力學觀點來看，它實際上是一種質(zhì)點系動力學模型，假設車隊中的每一輛車必須與前車保持一定的間距以免發(fā)生碰撞，后車的加速或減速取決于前車 。 交通流的氣體動力論模型 著名的物理學家 Prigogine 和著名的交通流專家 Herman 在研究交通流時認為不能忽略車輛的個體行為對交通流的影響，個體行為不同會帶來不同的集體運動行為 。模擬的基本思想是將路面格子化 ， 每個格子視為有獨立思維的小 元胞 ， 若干個小 元胞 對應一輛或幾輛小汽車 ， 把車輛在路面上的運動看成是格子場的演變 ， 元胞 可以像小汽車一樣通過觀察周圍環(huán)境的變化來決定下一步的運動狀態(tài) ， 凡車輛應遵守的交通規(guī)則都表述 為 元胞 的演變規(guī)則 ， 車輛行駛的加速、減速、慣性、跟馳等均可以通過 元胞 的速度變化規(guī)則來詳細刻劃 ， 從而把交通流的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為 元胞 的演變規(guī)則加以研究。那么（ 7），（ 8）滿足初始條件 ( ,0) ( )x f x? ? 則是顯然的。對于每一時刻 t 和每一點 x ，引入 3 個基本函數(shù)： 流量 ( , )qxt 時刻 t 單位時間內(nèi)通過點 x 的車輛數(shù)； 密度 ( , )xt? 時刻 t 點 x 處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)； 速度 ( , )uxt 時刻 t 通過點 x 的車流速度。 關(guān)鍵詞： 交通流 數(shù)學模型 分類 元胞自動機 引 言 ： 隨著我國改革開放的不斷深入 ， 城鄉(xiāng)經(jīng)濟的進一步繁榮 ， 城市規(guī)模的日益擴大 ， 城市交通中的各種機動車輛和非機動車輛數(shù)量迅速增加 ， 從而使城市道路更為擁擠和難以管理 ， 交通堵塞和擁擠嚴重、城市公共交通發(fā)展較慢 ， 公交工具數(shù)量不足 ， 結(jié)構(gòu)單一 ， 運營效率和效益低、交通管理設施、技術(shù)差，從而導致交通問題屢見不鮮。當一輛汽車前面沒有車輛時，它將以最大速度行駛，可以描述為 0?? 時 uum? （最大值）；當車隊首尾相接造成堵塞時，車輛無法前進，可記為 ? ?? m （最大值）時 0u? 。一連串的間斷點 ? ?,xt 在 Oxt 平面上構(gòu)成一條孤立的、連續(xù)的間斷線，記作 ()sx x t? 并假定它是可微的。 20 世紀 70 年代， 提出了交通動量方程和連續(xù)性方程構(gòu)成的交通流動力學高階模型；與此同時，著名的物理學家 和 運用氣體動理論提出了交通流氣體動理論模型。 Helbing 在考慮了車輛的加速和相互作用機制后，將描述車輛運動狀態(tài)的粒子分布函數(shù) f 所遵守的 Boltzmann方程改寫為 2 39。 目前，跟馳模型研究的主要熱點集中在基于 Bando 等人提出的優(yōu)化速度模型上，該模型的一般形式 ? ?()() nnn V x t vvt ? ?? 其中 ? 是猶豫時間， 優(yōu)化速度 ( ( ))nV x t 可取多種形式。另外 ， CA 時間、空間、狀態(tài)變量均離散 ， 元胞狀態(tài)并行局部更新 ， 適合計算機 模擬 ， 能夠?qū)崿F(xiàn)大規(guī)模路網(wǎng)的快速計算。如何描述城市交通的規(guī)律， 充分利用交通資源，以科學理論指導交通系統(tǒng)的發(fā)展和改善，己迫在眉睫。 NS 模型及其改進模型 NS 模型是典型的一維單車道交通流 CA模型 ， 適用于模擬高速公路交通流。研究表明 ， NS模型中的隨機概率對交通流狀態(tài)的變化有較大影響 ， 因此在一些改進模型中加入了車輛的隨機加速概率 ， 而且隨機加速、減速概率將根據(jù)車速的不同而變化 ， 即 ( ( ))p p v t? ，這一類模型稱為隨機概率基于車速的改進模型。 Barlovic 等 人 明確提出隨機減速概率是速度的函數(shù) ， 即 ()p pt? ， 而且應在執(zhí)行規(guī)則 (1)之前首先確定這個參數(shù)的值 ， 這種模型稱為 VDR 模型。 該模型中有兩個減速規(guī)則 ， 根據(jù)規(guī)則 (4)確定的速度可以避免車輛發(fā)生碰撞 ， 但是必須已知下一時刻前車的速度 ， 因此 ， 在該模型中所有車輛的速度并不是同時更新 ， 而是順序更新。 其中 m axm ax0 ( )()iiv t vpp v t v???? ???? ? ?( 1) m a x 0 , ( )iiv t v t?? ； 模型優(yōu)缺點： FI 模型與 NS 模型的區(qū)別在于加速方式和隨機減速方式不同。 在平直、干燥的柏油路面上 (路面附著系數(shù)約為 )， 車輛能夠達到的最大加、減速度為 ? ? 2m a x 8/ra g m s?? ? ? ? ? ?。 (3)修 正規(guī)則 在 t 時刻 ， 已知本車的加速度是 ()nat， 設前車的加速度是最大減速度 (4 2/cell s )，那么在 1t? 時刻 ： 如果 ( 1) ( 1)nnv t gap t? ? ?， 則本車的加速度依然取 ()nat； 如果 ( 1) ( 1)nnv t gap t? ? ?， 則本車的加 速度取 () 1nat? (但不小于 4)， 再重新計算( 1)nvt? 和 ( 1)ngap t? ， 一直到 ( 1) ( 1)nnv t gap t? ? ?為止 。不僅有傳統(tǒng)的 數(shù)學微分非線性模型 ，經(jīng)典的 概率統(tǒng)計模型、車輛跟馳模型、流體動力學模型、車輛排隊模型 ，也有現(xiàn)階段 不斷在研究上實現(xiàn)突破的元胞自動機模型 。 下面是在不同車流密度下的位置 時空斑圖： 空間位置（ s p a c e )演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖 空間位置（ s p a c e )演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖空間位置（演化時間(time)車流密度為 的位置時空斑圖 圖 1 不同車流密度 位置時空斑圖 對比圖 22 在現(xiàn)實情形 中 ，城市長達 500 米的道路上基本都有紅綠燈設置 ，那么下面模擬在道路上設置紅綠燈情況下的車流等的位置關(guān)系。 元胞 自動機規(guī)則 在規(guī)則中使用的變量符號定義如下 。 每個位置的狀態(tài)有 7 種 ， 分別是 ： 位置空閑和該位置處車輛速度分別為 0， 1， 2， 3， 4， 5元胞 長度 /秒 。 （ 2）如果 v gap? ，則 v gap? 。 （ 4） 考慮前車車速的改進模型 在 NS 模型中 ， 車輛的速度只與前 后兩車的間距有關(guān) ， 而與前車車速無關(guān)。 15 （ 3） ( 1 ) m a x ( ( 1 ) 1 , 0 )v t v t? ? ? ?， m ax m axm axvp v vpp v v????? ??? ，其中 max 0, 0vpp?? （ 4）車輛速度： ( 1) ( ) ( 1)x t x t v t? ? ? ?。 14 （ 3） 隨機規(guī)則：在概率 p 下， ( 1 ) m a x ( ( 1 ) 1 , 0 )v t v t? ? ? ?。 不同于一般的動力學模型，交通流元胞自動機不是由嚴格的物理方程確定， b a b 映射邊界 13 而是通過構(gòu)造一系列模型的規(guī)則來實現(xiàn)的，這恰恰增強了其表達復雜關(guān)系的能 力，為其在復雜的交通流領(lǐng)域的應用奠定了基礎。 從定義中可知，演化規(guī)則 R 對所有格位都是同一的，且同時應用于他們中 的每個元胞 ，由此得到同步動力學。 鑒于優(yōu)化速度模型沒有包含對相對速度效應，特別是快速車接近慢速車時就會發(fā)生追尾而引起事故， Treiber 等人提出了智能駕駛模型： 2() ()0( , )1n n n nn n nv s v vva vs? ???? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 該模型考慮在暢通運行狀態(tài)的加速趨勢： ? ?( ) ( )0( ) 1 /nnf n na v a v v ????????? 以及第 n 輛車接近前輛車的減速趨勢 ： ? ? ? ? 2()int , , /nn n n nb s v v a s s? ? ? 10 其中 nv 為前車與后車的速度差（接近速度）， ns 為車間距， s? 是期望最小間距，與實際間距 as 的關(guān)系為： ? ? ( ) ( ) ( )01 () ( ) ( )0, 2n n nn n nn n nn nnv v vs v v s s T vv ab? ? ? ? ? 它隨著速度和接近速率變化而變化， ()0ns 為阻塞距離。 2d 是車輛之間的作用函數(shù) 。流體力學模型在推動交通流理論的發(fā)展過程匯總，起著非常重要的作用，其中重要的模型有 LWR 模 型、 Payne 模型等。 O a( , )xt?????()sxt b x ( , )xt? 在 ()sxt處間斷 6 應用范圍： 該模型適用于研究 一維單車道 交通流，即 研究對象是無窮長公路上沿單向流動的一條車流，并且前提條件是不允許超車，公路上沒有岔道， 汽車不會從其他通道進入或駛出。當把 q 表示為 ? 的 已知函數(shù) ? ?qq?? 時（如（ 3）式），導數(shù) dqd?也是已知函數(shù)，記作 ? ???，于是按照求導法則有 ? ?.q dqx d x x?????? ? ???? ? ? 4 這樣，方程 (5)可以寫成： ( ) 0 , ( ) , 0 ,( , 0 ) ( )dq txt x dx f x??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? （ 6） 其中 ()fx是初始密度。研究每一時刻通過公路上 每一點的交通流的流量、速度和密度等變量間的關(guān)系。在這種情況下，很難分析每輛汽車的運動規(guī)律，而是 把車輛對看作連續(xù)的流體，稱為交通流。 在關(guān)于 q 和 ? 的解析性質(zhì)的假定下，（ 4）式的左右端可分別記作 ( , ) ( , ) ( , )bq a t q b t q x t d xxa ?? ? ? ? ? ( , ) ( , )bbd x t d x x t d xd t taa?????? ? 所以（ 4）式化為： 0b q dxtxa ??? ?? ??（ + ） 由于區(qū)間 ? ?,ab 是任意的，所以有： 0qtx????+ （ 5） 這就是連續(xù)交通流方程。 利用（ 12），（ 13）式的記號立即得到 ? ? ? ? sdxq dt?? 或者記作： ? ?? ?s qdxdt ?? 這就是間斷線 ()sx x t? 應滿足的方程，其中 ??? 和 ??q可以用連續(xù)交通流方程得到的 ? 和 q 在間斷點處取極限值算出。 交通流的流體力學模型 交通流的流體力學模型將交通