【正文】 . (2) 由折疊的性質(zhì) ， 得 BE ＝ B ′E ， BF ＝ B ′F . ∵ BE ＝ BF ， ∴ BE ＝ B ′E ＝ B ′F ＝ BF ， ∴ 四邊形 BFB ′E 為菱形． 16 ． 課程學(xué)習(xí)： 正方形折紙中的數(shù)學(xué)． 動手操作： 如圖 ① ， 四邊形 ABCD 是一張正方形紙片 ， 先將正方形 ABCD對折 ， 使 BC 與 AD 重合 ， 折痕為 EF ， 把這個正方 形展平 ， 然后沿直線 CG折疊 ，使點 B 落在 EF 上 ， 對應(yīng)點為 B ′. 數(shù)學(xué)思考： (1) 求 ∠ CB ′F 的度數(shù)． (2) 如圖 ② ， 在圖 ① 的基礎(chǔ)上 ， 連結(jié) AB ′， 試判斷 ∠ B ′AE 與 ∠ GCB ′的大小關(guān)系 ， 并說明理由． 解決問題： (3) 如圖 ③ ， 按以下步驟進行操作： 第一步：先將正方形 ABCD 對折 ， 使 BC 與 AD 重合 ， 折痕為 EF ， 把這個正方形展平 ， 然后繼續(xù)對折 ， 使 AB 與 DC 重合 ， 折痕為 MN ， 再把這個正方形展平 ， 設(shè) EF 和 MN 交于點 O ； 第二步：沿直線 CG 折疊 ， 使點 B 落在 EF 上 ， 對應(yīng)點為 B ′， 再沿直線AH 折疊 ， 使點 D 落在 EF 上 ， 對應(yīng)點 為 D ′； 第三步：設(shè) CG ， AH 分別與 MN 交于點 P ， Q ， 連結(jié) B ′P ， PD ′， D ′ Q ，QB ′， 試判斷四邊形 B ′PD ′Q 的形狀 ， 并證明你的結(jié)論． ( 第 16 題圖 ) 解： (1) 由對折可知 ， ∠ EFC ＝ 90 176。 － ∠ BCM － ∠ M ＝ 30 176。 ， ∴∠ EFM ＝ ∠ ABP . 又 ∵∠ A ＝ ∠ EMF ＝ 90 176。 ， ∴△ EFM ≌△ PBA . ∴ EM ＝ AP ＝ x . 在 Rt △ APE 中 ， AE2＋ AP2＝ PE2， 即 (4 － BE )2＋ x2＝ BE2， 解得 BE ＝ 2 ＋x28. ∴ CF ＝ BE － EM ＝ 2 ＋x28－ x . 又 ∵ 四邊形 PEFG 與四邊形 BEFC 全等 ， ∴ S ＝12( BE ＋ CF ) ∴∠ CBM ＝ ∠ M ， ∴ BC ＝ CM . 設(shè) CF ＝ x ， D ′ F ＝ DF ＝ y ， 則 BC ＝ CM ＝ CD ＝ CF ＋ DF ＝ x ＋ y ， ∴ FM ＝ CM ＋ CF ＝ 2 x ＋ y . 在 Rt △ D ′ FM 中 ， tan M ＝ tan 30 176。 ， CF ＝ 12 CD . ∵ 四邊形 AB CD 是正方形 ， ∴ CD ＝ CB ， ∴ CF ＝12 BC . 由折疊的性質(zhì)知 CB ′＝ CB ， ∴ CF ＝12CB ′ ， ∴ 在 Rt △ B ′ FC 中 ， sin ∠ CB ′ F ＝CFCB ′＝12， ∴∠ CB ′F ＝ 30 176。 ＝ 30 176。 ∴∠ CBM ＝ 180 176。 ， BH ＝ BH ， ∴△ BCH ≌△ BQH . ∴ CH ＝ QH . ∴△ PDH 的周長＝ PD ＋ PH ＋ DH ＝ PD ＋ PQ ＋ QH ＋ DH ＝ PD ＋ HC ＋ AP＋ DH ＝ AD ＋ CD ＝ 8. ( 第 10 題圖解 ) (3) 如解圖 ② ， 過點 F 作 FM ⊥ AB ， 垂足為 M ， 則 FM ＝ BC ＝ AB . 又 ∵ EF 為折痕 ， ∴ EF ⊥ BP . ∴∠ EFM ＋ ∠ MEF ＝ ∠ ABP ＋ ∠ BEF ＝ 90 176。 BC ＝12 ????????4 ＋x24－ x 4 ， 即 S ＝12x2－ 2 x ＋ 8. 配方得 ， S ＝12( x － 2)2＋ 6 ， ∴ 當(dāng) x ＝ 2 時 ， S 有最小值 6. 拓展提高 11 ． 如圖 ， 在菱形紙片 ABCD 中 ， ∠ A ＝ 60 176。 ＝D ′ FFM＝y(tǒng)2 x ＋ y＝33， ∴ x ＝3 － 12y ， ∴CFFD＝xy＝3 － 12. 12 ． 小明在學(xué)習(xí) “ 銳角三角函數(shù) ” 時發(fā)現(xiàn) ， 將如圖所示的矩形紙片 ABCD沿過點 B 的直線折疊 ， 使點 A 落在 BC 上的點 E 處 ， 還原后 ， 再沿過點 E 的直線折疊 ， 使點 A 落在 BC 上的點 F