【正文】 167。 試對該市改善市中心交通環(huán)境問題作出決策分析。 注意： 不完全層次關系 如：方案 ai與準則 cj不存在關系，構造方案層對準則 cj的判斷矩陣時，應將方案 ai除外，得到 m－ 1階矩陣，解得 m－ 1維特征向量，再將方案 ai關于準則 cj的權重 0補進去，得到m維特征向量。 ?由于判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述（不精確），因此在求解時可采用簡化計算的方法，求出近似解即可。 3. 互反正矩陣與一致性矩陣 定理 1： 設有矩陣 A＝ (aij )m m＞ 0，則： （ 1） A有最大特征值 λmax，且 λmax是單根，其余特征值的模均小于 λmax ； （ 2） A的屬于 λmax的特征向量 X＞ 0 ； （ 3） λmax由下面的等式給出： 其中： 3. 互反正矩陣與一致性矩陣 定義 3： 設有矩陣 A＝ (aij )m m＞ 0，若 A滿足： （ 1） aii=1,i =1, 2, …, m （ 2） aij=1/aji , i, j =1, 2, …, m 則稱 A為互反正矩陣。 1. 遞階層次模型 H ... ... ... ... A1 A2 An1 An … G11 G12 G1n1 G1n … 最高層 中間層 最低層 … G21 G22 G1k1 G1k 層次結構圖 1. 遞階層次模型 ?相鄰兩層元素之間的關系用直線標明，稱之為作用線，元素之間不存在關系就沒有作用線。 u9 例：“我國總?cè)丝谀繕恕? 效用并合 w1（ 吃 ） 、 w2（ 用 ） 并合為 v1宜用加法規(guī)則： v1＝ ρ 即： W=W(u1， u2)的取值與 d成正比 。 多維效用并合方法 多維效用并合模型 ?多目標決策問題其目標屬性的特點： ?目標間的不可公度性 即：對各目標的評價沒有統(tǒng)一的量綱，不能用同一標準評價。 ?若所有 x(i)都相同 ， 記為 x(0)， 則 x(0)就是所求的多目標決策問題的最優(yōu)解；若不然 ， 則考慮求解下面的單目標決策問題： 例 x(1)=(0, 0)T， x(2)=(1, 2)T 用理想點法化為單目標決策問題 7,0 *2*1 ?? ff????????????????0,342..])723()4[()(min21212121221221xxxxxxtsxxxxxU　21221123)(4)(xxxfxxxf?????212212212122*])723()4[(]))(([)(??????? ???xxxxfxfxUiii構造目標函數(shù) 167。 例 某廠在計劃期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。 目標規(guī)劃方法 正負偏差變量 對每一個目標函數(shù)值，分別引入正、負偏差變量 ?正負偏差變量分別表示實際目標值超過和低于期望值的數(shù)值 。 ?多目標決策中，風險因素可能只涉及某些目標準則，備選方案不宜在整體上視為處于同一類狀態(tài)空間。目標準則體系的最低一層子目標可以用單一準則進行評價。 單目標決策的關鍵：合理選擇決策準則。 目標準則體系的結構 單層次目標準則體系 各個目標都屬于同一層次，每個目標無須分解就可以用單準則給出定量評價。 目標規(guī)劃方法 例 某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的單位利潤、所消耗的原材料及設備工時、材料和設備工時的限額如下表所示。 167。 設 f1(x)為主要目標， 則由： ??????　　　　　　　　Xxmiaxftsxfii,2)(..)(max1?可以得到 （ ） 的一個有效解 。 STEM法 支付表 x(i) f1 f2 … fj … fk x(1) z11 z21 … zj1 … zk1 … … … … … … … x(i) z1i z2i … zji … zki … … … … … … … x(k) z1k z2k … zjk … zkk 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ② 求權系數(shù)：從支 ③ 付表中得到 ijkijj zff ??? 10* min　和　 為找出目標值的偏差以及消除不同目標值的量綱不同的問題，進行如下處理 ： ????????????????????0)(10)(1*1200*120*injijiiiinjijiiiifcffffcfff　　　　　?。?歸一化后得權系數(shù)： kikjiii,2,11???????? 步驟法（ STEM法） STEM法的求解步驟： ③ 求解 ?????????　　　　　　　　　　0,2,1))((..min*xbxAkixfftsiii????（使目標與理想值的最大加權偏差 λ最?。? 該線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解記為 x0 。 ?主要用于 序列型 多層次目標準則體系 H v1 w2 w1 v2 w4 w3 vl wk wk1 u2 u1 ul ul1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... us us1 ... 圖 序列型多層次目標準則體系 多維效用并合模型 圖 ： ?H表示可行方案的總效用值 ， 即滿意度； ?v1， v2， ...， vl 表示第二層子目標的效用值； ?如此類推 ， w1， w2， ...， wk 表示倒數(shù)第二層各子目標的效用值； ?u1， u2， ...， us 表示最低一層各準則的效用值 。 ?混合規(guī)則的二維效用并合公式： 其中 ， γ ≥ － 1稱為形式因子 。 V2 得： 987654321})1(])1([{uuuuuuuuuH??????????????????　　　 167。 ?AHP方法采用優(yōu)先權重作為區(qū)分方案的優(yōu)劣程度的指標，優(yōu)先權重是一種相對度量數(shù)，表示方案相對優(yōu)劣程度，數(shù)值介于 0－ 1之間，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。 1— 9標度方法 標度 定義 含義 1 同樣重要 兩元素對某屬性，一元素比另一元 素同樣重要 3 稍微重要 兩元素對某屬性，一元素比另一元 素稍微重要 5 明顯重要 兩元素對某屬性，一元素比另一元 素明顯重要 7 強烈重要 兩元素對某屬性，一元素比另一元 素強烈重要 9 極端重要 兩元素對某屬性，一元素比另一元 素極端重要 8 相鄰標度中值 表示相鄰兩標度之間折中時的標度 上列標度倒數(shù) 反比較 元素 i對元素 j的標度為 aij， 元素 j對元素 i的標度為 1/aij 2. 判斷矩陣的一致性檢驗 ?1— 9標度方法構造的判斷矩陣 A一定是互反正矩陣； ?但 A不一定是一致性矩陣，實際中，很難構造出具有完全一致性的矩陣； ?只有判斷矩陣 A具有完全的一致性時，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值為 0，層次單排序才能歸結為判斷矩陣 A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各分量表示優(yōu)先權重。 定理： 設矩陣 A＝ (aij)m m0， 則： 　CWeAeeAkTkk???lim其中： W是 A的最大特征值對應的特征向量 ，C為常數(shù) ， 向量 e＝ (1,1, … ,1)T 冪法 —— 步驟 1） 任取初始正向量 W(0), k=0， 設置精度 ? )()1(~ kk AW??2） 計算 ????? ?mikikk WWW1)1()1()1( ~/~3） 歸一化 ????mikikiWWm1)()1(~1?5） 計算 4） 若 ???? )()1(ma x kikiiWW3. 判斷矩陣的求解 停止；否則 ， k=k+1, 轉(zhuǎn) 2） 3. 判斷矩陣的求解 為了克服隨著判斷矩陣階數(shù)的增加而產(chǎn)生精確求解最大特征值的困難，還可其他近似方法確定方案的權重。 則第 k層子目標關于總目標 G的組合優(yōu)先權重向量為： W (k)=(w1(k) ,w2(k) , …, wnk(k))T 其中： 遞階層次結構權重解析過程 1. 遞階權重解析公式 ?其次，用公式將遞階權重解析過程表示出來，給出方案層關于總目標 G的優(yōu)先權重向量。 ?決策單元 — 待評價的部門、企業(yè)或時期。 ?不需要確定投入和產(chǎn)出之間關系的具體形式，具有黑箱類型研究方法的特色。 常見的產(chǎn)出指標： 總產(chǎn)值、銷售收人、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。在實際計算中，一般按表格形式計算較為簡便。 3. 判斷矩陣的求解 ?梯度特征向量法（ GEM）：設正互反判斷矩陣為 A，其偽（擬）互反矩陣為 由下面的遞推公式導出排序向量的方法稱為梯度特征向量法 。 （ 1） 判斷矩陣的一致性指標 2. 判斷矩陣的一致性檢驗 （ 2）平均隨機一致性指標 ： 是足夠多個根據(jù)隨機發(fā)生的判斷矩陣計算的一致性指標的平均值（表 ）。 物體測重問題的 啟示 ?若一組物體無法直接測出其重量，但可以通過兩兩比較判斷，得到每對物體相對 重量的判斷值，則可構造判斷矩陣 (A),求解判斷矩陣的最大特征值和向量對應的特征向量，就可以得到這組物體的相對重量。 ?將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結構模型的一個層次，同一層次的元素既對下一層次元素起著制約作用，同時又受到上一層次元素的制約。 例：“我國總?cè)丝谀繕恕? 各國 對比 u9 我國人口總目標 H V1 V2 吃用 v1 實力 v2 用 w2 吃 w1 糧食 u1 魚肉 u2 空氣 u4 水 u5 能源 u6 土地 u3 最低總和 生育率 u8 GNPu7 目標準則體系 例：“我國總?cè)丝谀繕恕? 效用并合 u1（ 糧食 ） 、 u2（ 魚肉 ） 并合為 w1宜用乘法規(guī)則： w1＝ u1 多維效用并合規(guī)則 ?多維效用函數(shù)與多維效用曲面 ?設效用 u1， u2， ...， un 分別在區(qū)間 ［ 0， 1］ 上取值， n元連續(xù)函數(shù) W=W(u1， u2， ...， un)稱為 n維效用函數(shù) 。已知在一個生產(chǎn)周期內(nèi)，每單位甲產(chǎn)品的收益是 1元，每單位乙產(chǎn)品的收益是 3元；每單位甲產(chǎn)品的放射性污染是 ，每單位乙產(chǎn)品的放射性污染是 1單位，由于機器能力（小時）、裝配能力（人時）和可用的原材料（單位）的限制，約束條件是（ x x2分別為甲、乙產(chǎn)品的產(chǎn)量）： 例 該問題的目標函數(shù)為： ??????????????　　　　　　　　　，　?。ㄔ牧希。ㄑb配能力）（機器能力）　0725..21212121xxxxxxxxts（放射性污染最?。ɡ麧欁畲螅?12211)(max3)(maxxxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ① 先分別求解 ????????????????　　　　，　　　0725..3)(max21212121211xxxxxxxxtsxxxf?????????????????　　　　，　　　0725..)(max21212121212xxxxxxxxtsxxxf得： x(1)=(, )T， x(2)=(0, 0)T f1*=， f2*=0 例 STEM法 支付表 f1 f2 x(1)=(, )T － x(2)=(0, 0)T 0 0 212211)(3)(xxxfxxxf????? 例 STEM法求解 ② 求權系數(shù)：從 ③ 支付表中得到 ,00,