新人教b版高中數(shù)學(xué)選修2-2231數(shù)學(xué)歸納法(專業(yè)版)
【正文】 練習(xí) :用數(shù)學(xué)歸納法證明 : (n+1)?(n+2)?…?(n+n)=2 n?1?3?…?(2n 1) 數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 . 例 4:平面內(nèi)有 n條直線 ,其中任何兩條不平行 ,任何三條不過同一點(diǎn) ,證明交點(diǎn)的個(gè)數(shù) f(n)等于n(n1)/2. n 圖形 f(n) 1 2 3 4 … k K+1 f(1)=0 f(2)=1=f(1)+1 f(3)=3=f(2)+2 f(4)=6=f(3)+3 f(k) f(k+1)=f(k)+k … … 證 :(1)當(dāng) n=2時(shí) ,兩條直線 的交點(diǎn)只有 1個(gè) ,又 f(2)=2?(21) /2=1,因此 ,當(dāng) n=2時(shí)命題成立 . (2)假設(shè)當(dāng) n=k(k≥2)時(shí)命題成立 ,就是說 ,平面內(nèi)滿足 題設(shè)的任何 k條直線 的交點(diǎn)個(gè)數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 以下來考慮平面內(nèi)有 k+1條直線的情況 .任取其中 的 1條直線 ,記作 ,除 l以外的其他 k條直線的 交點(diǎn)個(gè)數(shù) f(k)等于 k(k1)/2. 另外 ,因?yàn)橐阎魏蝺蓷l直線不平行 ,所以直線 l必 與平面內(nèi)其他 k條直線都相交 ,有 k個(gè)交點(diǎn) . 又因?yàn)橐阎魏稳龡l直線不過同一點(diǎn) ,所以上面的 k個(gè)交點(diǎn)兩兩不相同 ,且與平面內(nèi)其他的 k(k1)/2個(gè) 交點(diǎn)也兩兩不相同 . 從而平面內(nèi)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 k(k1)/2+k=k[(k1)+2]/2 =[(k+1)1](k+1)/2. 這就是說 ,當(dāng) n=k+1時(shí) ,k+1條直線的 交
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