【正文】 sinπ8＝ 2 cosπ8s inπ8＝22sinπ4＝12. 易混易錯(cuò)點(diǎn)睛 在 △ ABC中 ， a＝ 15， b＝ 12， A＝ 60176。 ， AB ＝ 2 3 ， AC ＝ 2 ，求 △ABC 的面積． [ 分析 ] 首先要討論三角形解的個(gè)數(shù)，然后利用三角形的面積公式求解． [ 解析 ] 由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B， ∴ sin C ＝AB sin BAC＝2 3 ＝ 3 ， a b sin A ， ∴ 本題有兩解． 由正弦定理得 sin B ＝b sin Aa＝6sin3 0176。 ， ∴ 本題無解． (2) ∵ b sin A ＝ 20 ＝ sin( 4 5176。 D ． 以上答案都不對(duì) [ 解析 ] sin B ＝b sin Aa＝4 2 324 3＝22. ∴∠ B ＝ 45176。 或 135176。 ＋ 60176。 s in80176。2 3＝32， ∴ B ＝ 60176。 s in30176。 ， 則cosB＝ ________. [ 誤解 ] 177。 ＝ 3 . 綜上可知， △ ABC 的面積為 2 3 或 3 . [ 方法總結(jié) ] 利用三角形的面積公式 S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 即可 求出三角形的面積，同時(shí)要注意解的個(gè)數(shù)． 三角形常用面積公式 (1) S ＝12aha( ha表示邊 a 上的高 ) (2) S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B (3) S ＝12r ( a ＋ b ＋ c )( r 為三角形內(nèi)切圓半徑 ) 在 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 的對(duì)邊分別是 a ， b ， c ，已知 A＝π3， b ＝ 1 ， △ ABC 的外接圓半徑為 1 ，則 △ ABC 的面積 S ＝________. [ 答案 ] 32 [ 解析 ] 由正弦定理asin A＝bsin B＝ 2 R ， ∴ a ＝ 3 ， sin B ＝12， ∵ a b ， ∴ A B ， ∴ B ＝π6， C ＝π2. ∴ S △ABC＝32. 在 △ ABC中 ， 已知 a2tanB＝ b2tanA， 試判斷△ ABC的形狀 ． [分析 ] 根據(jù)條件等式的特點(diǎn)為邊角關(guān)系 ， 可以應(yīng)用正弦定理把邊化為角 ， 再利用三角公式求解 ． 利用正弦定理判斷三角形形狀 [ 解析 ] 由已知得a2sin Bcos B＝b2sin Acos A. 由正弦定理得 a ＝ 2 R sin A ， b ＝ 2 R sin B ( R 為 △ ABC 的外接圓半徑 ) ，則4 R2si n2A s in Bcos B＝4 R2sin2B s in Acos A， 即 sin A cos A ＝ sin B cos B . ∴ sin2 A ＝ sin2 B . ∴ 2 ∠ A ＝ 2 ∠ B 或 2 ∠ A ＝ π － 2 ∠ B ， 即 ∠ A ＝ ∠ B 或 ∠ A ＋ ∠ B ＝π2. ∴△ ABC 為等腰三角形或直角三角形． [方法總結(jié) ] 利用正弦定理判斷三角形形狀的方法： (1)化邊為角 ． 將題目中的所有條件 ， 利用正弦定理化邊為角 ， 再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系 ， 進(jìn)而確定三角形的形狀 ． (2)化角為邊 ． 根據(jù)題目中的所有條件 ， 利用正弦定理化角為邊 ， 再利用代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系 (如 a＝ b， a2＋ b2＝c2)， 進(jìn)而確定三角形的形狀 ． 注意： (1) 判斷出一個(gè)三角形是等腰三角形后，還要進(jìn)一步討論它是否可能是等邊三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下結(jié)論； (2) 在 △ ABC 中，若 sin2 A ＝ sin2 B ，不一定只有 A ＝ B ，因?yàn)?sin2 A ＝ s in2 B ? 2 A ＝ 2 B ，或 2 A ＝ π － 2 B ? A ＝ B 或 A ＋ B ＝π2. 在 △ ABC 中， a cos( π2 － A ) ＝ b cos( π2 － B ) ，判斷 △ ABC 的形狀． [ 解析 ] 解法一：