【正文】 （ x） +2f（ x） ＞ 0，則 4f（ 2n+1） ＜ f（ 2n）， n∈ N*； ③ 若 f39。 △ ABC 為等邊三角形，面 ABC⊥ 面 ABB1A1． （ 1）求證： A1B1⊥ AC1； （ 2）求側(cè)面 A1ACC1和側(cè)面 BCC1B1所成的二面角的余弦值． 18．（ 12 分）己知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，滿足 ；數(shù)列 {bn}滿足 ． （ 1）求數(shù)列 {an}， {bn}的通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè)數(shù)列 {an?bn}的前 n 項(xiàng)和為 Tn，當(dāng) Tn＞ 2017 時(shí)，求正整數(shù) n 的最小值． 19．（ 12 分） 2017 年由央視舉辦的一檔文化益智節(jié)目《中國詩詞大會(huì)》深受觀眾喜愛，某記者調(diào)查了部分年齡在 [10， 70]的觀眾，得到如下頻率分布直方圖．若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第六組有 4 人． （ 1）請補(bǔ) 充完整頻率分布直方圖，并估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù) ； （ 2）現(xiàn)根據(jù)觀看年齡，從第四組和第六組的所有觀眾中任意選 2 人，記他們的年齡分別為 x， y，若 |x﹣ y|≥ 10，則稱此 2 人為 “最佳詩詞搭檔 ”，試求選出的 2人為 “最佳詩詞搭檔 ”的概 P； （ 3）以此樣本的頻率當(dāng)作概率，現(xiàn)隨機(jī)從這組樣本中選出 3 名觀眾，求年齡不低于 40 歲的人數(shù) ξ 的分布列及期望． 20．（ 13 分）已知函數(shù) f（ x） =xlnx， g（ x） =﹣ x2+ax﹣ 2． （ 1）若曲線 f（ x） =xlnx 在 x=1 處的切線與函數(shù) g（ x） =﹣ x2+ax﹣ 2 也相切，求實(shí)數(shù) a 的值 ； （ 2）求函數(shù) f（ x）在 上的最小值； （ 3）證明：對任意的 x∈ （ 0， +∞ ），都有 成立． 21．（ 14 分）如圖，已知橢圓 的左焦點(diǎn) F 為拋物線 y2=﹣ 4x 的焦點(diǎn)，過點(diǎn) F 做 x 軸的垂線交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)，且 |AB|=3． （ 1）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程： （ 2）若 M， N 為橢圓上異于點(diǎn) A 的兩點(diǎn)，且滿足 ，問直線 MN 的斜率是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由． 2017 年山東省煙臺(tái)市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分．在每小題給 出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求． 1．若集合 A={﹣ 1， 0， 1， 2， 3}， B={y|y=2x﹣ 1， x∈ A}，集合 C=A∩ B，則C 的真子集個(gè)數(shù)為（ ） A． 3 B． 4 C． 7 D． 8 【考點(diǎn)】 子集與真子集． 【分析】 先求出集合 B，從而求出集合 C=A∩ B，由此能求出 C 的真子集個(gè)數(shù)． 【解答】 解：集合 A={﹣ 1， 0， 1， 2， 3}， B={y|y=2x﹣ 1， x∈ A}={﹣ 3，﹣ 1， 1， 3， 5}， ∴ 集合 C=A∩ B={﹣ 1， 1， 3}， ∴ C 的真子集個(gè)數(shù)為 23﹣ 1=7． 故選： C． 【點(diǎn)評】 本題考查交集的求 法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用． 2．若復(fù)數(shù) （ i 為虛數(shù)單位， a 為實(shí)數(shù)）為純虛數(shù)，則不等式 |x+a|+|x|＞ 3 的解集為（ ） A． {x|x＞ 1} B． {x|x＜ ﹣ 2} C． {x|x＜ ﹣ 1 或 x＞ 2} D． {x|x＜ ﹣ 2 或 x＞ 1} 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；絕對值不等式的解法． 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為 0 且虛部不為 0 求得 a值，再由絕對值的幾何意義求得不等式 |x+a|+|x|＞ 3 的解集． 【解答】 解： ∵ = 為純虛數(shù)， ∴ ，解得 a=1． ∴ |x+a|+|x|＞ 3?|x+1|+|x|＞ 3， 由絕對值的幾何意義可得： x＜ ﹣ 2 或 x＞ 1． ∴ 不等式 |x+a|+|x|＞ 3 的解集為 {x|x＜ ﹣ 2 或 x＞ 1}． 故選： D． 【點(diǎn)評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了絕對值不等式的解法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題． 3． “m=1”是 “函數(shù) f（ x） =log2（ 1+mx）﹣ log2（ 1﹣ mx）為奇函數(shù) ”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】 利用函數(shù)的奇偶性的 判定方法、簡易邏輯的判定方法即可得出． 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =log2（ 1+mx）﹣ log2（ 1﹣ mx）為奇函數(shù)，則 f（﹣ x）+f（ x） =log2（ 1﹣ mx）﹣ log2（ 1+mx） +log2（ 1+mx）﹣ log2（ 1﹣ mx） =0， m，x 滿足： ． 可得 “m=1”是 “函數(shù) f（ x） =log2（ 1+mx）﹣ log2（ 1﹣ mx）為奇函數(shù) ”，反之不成立，例如取 m=﹣ 1． 因此 “m=1”是 “函數(shù) f（ x） =log2（ 1+mx）﹣ log2（ 1﹣ mx）為奇函數(shù) ”的充分不必要條件． 故選： A． 【點(diǎn)評】 本題考查了簡易邏輯的 判定方法、函數(shù)的奇偶性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 4．用 0， 1， 2， … ， 299 給 300 名高三學(xué)生編號(hào)，并用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15 名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行質(zhì)量分析，若第一組抽取的學(xué)生的編號(hào)為 8，則第三組抽取的學(xué)生編號(hào)為（ ） A． 20 B． 28 C． 40 D． 48 【考點(diǎn)】 系統(tǒng)抽樣方法． 【分析】 根據(jù)已知計(jì)算出組距，可得答案． 【解答】 解：因?yàn)槭菑?300 名高三學(xué)生中抽取 15 個(gè)樣本， ∴ 組距是 20， ∵ 第一組抽取的學(xué)生的編號(hào)為 8， ∴ 第三組抽取的學(xué)生編號(hào)為 8+40=48． 故選： D． 【點(diǎn)評 】 本題考查系統(tǒng)抽樣的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意熟練掌握系統(tǒng)抽樣的概念 5．若 α， β是兩個(gè)不同平面， m， n 是兩條不同直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ） A．如果 m∥ n， α∥ β，那么 m與 α所成的角和 n 與 β所成的角相等 B．如果 m⊥ n， m⊥ α， n∥ β，那么 α⊥ β C．如果 α∥ β， m?α，那么 m∥ β D．如果 m⊥ α， n∥ α，那么 m⊥ n 【考點(diǎn)】 平面的基本性質(zhì)及推論． 【分析】 根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的判定方法及幾何特征，分析判斷各個(gè)結(jié)論的真假，可得答案． 【解答】 解： A、如果 m∥ n， α∥ β，那么 m， n 與 α所成的角和 m， n 與 β所成的角均相等，故正確； B、如果 m⊥ n， m⊥ α， n∥ β，不能得出 α⊥ β，故錯(cuò)誤； C、如果 α∥ β， m?α，那么 m與 β無公共點(diǎn)，則 m∥ β．故正確； D、如果 n∥ α，則存在直線 l?α，使 n∥ l，由 m⊥ α，可得 m⊥ l，那么 m⊥ n．故正確， 故選 B． 【點(diǎn)評】 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，難度中檔． 6．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示