【正文】 根據(jù)戴德金的公設(shè) ，在 AB上存在一個(gè)點(diǎn) R，使得：所有位 于它之前的點(diǎn)屬于第一類，并且所有位 于它之后的點(diǎn)屬于第二類。 例如，由于在仿射交換下橢圓可以變成圓，相應(yīng)地橢圓中心變?yōu)閳A心，橢圓的切線變?yōu)閳A的切線。 同一直線的垂線及斜線，并不總是相交的。 并為此開始了各自的研究工作，把代數(shù)方程和曲線、曲面的研究聯(lián)系在一起 笛卡爾的工作 幾何學(xué) 》 是笛卡爾哲學(xué)思想方法實(shí)踐的重要結(jié)果 首先運(yùn)用代數(shù)方法解決作圖的問題，指出，幾何作圖 實(shí)質(zhì)是對線段作加減乘除或平方根的運(yùn)算，所以它們都可以用代數(shù)的術(shù)語表示。（ 4） 所有直角彼此相等。 圖 從立體圖形到平面圖形 圖騰崇拜和宗教禮儀 測量與幾何 在幾何發(fā)展最早的古代埃及，幾何一詞具有 “ 土地測量 ” 的含義。（ 2） 把有限直線不斷循直線延長是可能的。 直到 19世紀(jì)，才證實(shí)了只用圓規(guī)和直尺來求解這三個(gè)作圖題的不可能性，然而對這三個(gè)問題的深入探索引出大量的發(fā)現(xiàn)。這與 AC與 a不相交的假設(shè)矛盾 i\ 非歐幾何學(xué)的先兆 從反面證明第五公設(shè)，意大利耶穌會(huì)教士、數(shù)學(xué)家薩凱里（ 1667~1733）于 1733年第一次發(fā)表了其極具特色的成果。 愛因斯坦說： “ 我特別強(qiáng)調(diào)剛才所講的這種幾何學(xué)的觀點(diǎn)，因?yàn)橐菦]有它，我就不能建立相對論。 圖 圓內(nèi)外兩點(diǎn)連線必與圓相交的證明 事實(shí)上，令 O為給定圓的圓心， r為半徑， C為從 O到 AB線段的垂線。因此，我們必定有 OR = r，于是定理得證。那么A1C1∥ AC。 存在著沒有外接圓的三角形。 [插入圖 ] 曲線與方程的思想明確指出：幾何曲線可以用唯一的 含 x和 y有限次代數(shù)方程來表示的曲線 2242 baa ??費(fèi)馬的工作 費(fèi)馬關(guān)于曲線與方程的思想，源于對阿波羅尼茲圓錐曲線的研究。 （ 2） 等量加等量，總量仍相等。這就等于取 π 為 。全書證明了 465個(gè)命題。 舉例如下： 畢德哥拉斯定理， 《 原本 》 使用幾何的證法如下： 如圖 ，先證明△ ABD△ FBC， 推得矩形BL與正方形 GB等積。 假如另有一條直線 AC與 a不交，記銳角∠ BAC為－，在直線 a上取點(diǎn) B1，使 B C在 AB同側(cè)，且使 ∠ AB1B=α ＜ 。并且 “ 空間 ”也專指當(dāng)時(shí)人們所唯一了解的歐幾里得空間 羅巴切夫幾何自誕生之日起，其命題的合理性就不斷 引起人們的懷疑。如果在這個(gè)公理體系中去掉第三種幾何基本對象（ “ 平面 ” ）以及與它有關(guān)的各條公理，余下來的公理和五個(gè)原始概念就可以構(gòu)成一個(gè) “ 平面幾何的公理系統(tǒng) ” ?？臻g想象是指能夠在二、三維空間的條件下對想象的物體運(yùn)動(dòng)，如反射、平移、旋轉(zhuǎn)等操作 對周圍的環(huán)境直接感知的基礎(chǔ)上觀察、想象、比較、綜合、抽象分析等眾多思維方法，達(dá)到對空間與平面相互關(guān)系的理解和把握。分析的算術(shù)化研究不斷深入，逐漸形成了科學(xué)的公理化方法。 在任一角內(nèi)，至少存在這樣一點(diǎn)，通過它不能做出一條同時(shí)與兩邊相交的直線。發(fā)現(xiàn)了羅巴切夫斯基幾何學(xué) 第五公設(shè)及其等價(jià)命題 等價(jià)命題 普萊菲爾的平行公理：過直線外一點(diǎn)只能作一條直線平行于該直線三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角； 每個(gè)三角形的內(nèi)角和都相同； 通過一角內(nèi)任一點(diǎn)可以作與此角兩邊相交的截線； 存在兩個(gè)相似而不全等的三角形； 畢達(dá)哥拉斯定理； 過不在一直線上的三點(diǎn)可作一圓； 圓內(nèi)接正六邊形的一邊等于此圓的半徑； 四邊形的內(nèi)角和等于四個(gè)直角； 一。 （ 5） 整體大于部分。 阿基米德的雙重方法 ——用力學(xué)原理發(fā)現(xiàn)公式，再用窮竭法加以證明 [插入圖 ] 如圖 PQq，其中 P與 Qp中點(diǎn) V的連線平行于拋物線的軸。阿基米德從物理的方法發(fā)現(xiàn)：拋物線被 Qp截得的拋物線弓形的面積，與三角形 QPq的面積之比是 4： 3。 從現(xiàn)代公理化方法的角度來分析， 《 原本 》 的公理化體系 存在著以下一些缺陷。 個(gè)等價(jià)命題的證明：如果任意三角形內(nèi)角和都等于 π ，那么過線 a外一點(diǎn) A只能引進(jìn)一條直線與 a不交。 圓內(nèi)接正六邊形的邊大于此圓半徑 幾何學(xué)的統(tǒng)一性與現(xiàn)實(shí)性 德國數(shù)學(xué)家年提出另一種 非歐幾何學(xué) ——黎曼幾何（黎曼。 公理集合的性質(zhì) 相容性，即由公理導(dǎo)出的定理，沒有哪兩個(gè)是相互矛盾的； 完備性，即理論系統(tǒng)中的定理都可以從公理導(dǎo)出 獨(dú)立性，即由公理導(dǎo)出的定理中中沒有一個(gè)是另一個(gè)的邏輯 結(jié)果。 物化那些感知到的、在直觀的水平上有所把握的 “ 轉(zhuǎn)化 ” 關(guān)系 運(yùn)用圖形形象的描述問題，利用直觀進(jìn)行思考。它們被當(dāng)作純粹抽象的東西，它們在演繹系統(tǒng)中的性質(zhì)，完全用公理的形式加以界定 歐氏幾何公理體系的嚴(yán)密化 希爾伯特幾何公理體系被劃分為五組，用五組公理聯(lián)結(jié)三種對象及其間的三種關(guān)系（六個(gè)原始概念）。在黎曼幾何中，三角形的內(nèi)角和大于兩直角，圓周率小于 π “ 現(xiàn)實(shí)性 ” 直到 19世紀(jì)初，所有的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物 質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確描述。如圖 。這些方法是人類早期研究圖形性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，在現(xiàn)代基礎(chǔ)教育中仍發(fā)揮著積極的作用。標(biāo)志著人類科學(xué)研究的公理化方法的初步形成， 《 幾何原本 》 共十三卷，其中第一、三、四、六、十一和十二卷，是我們今天熟知的平面幾何和立體幾何的知識，其余各卷則是數(shù)論和（用幾何方法論證的）初等代數(shù)知識。 四邊形的面積公式：（ a + c）（ b + d） /4（其中 a、 b、 c、 d依次表示邊長）。 （ 3） 等量減等量，余量仍相等。 他使用了傾斜坐標(biāo)系，建立了圓錐曲線的代數(shù)表述式。 三角形三邊的中垂線并非必定交于一點(diǎn)。一旦我們證明了這個(gè)有關(guān)圓的命題，再利用仿射變換下 “ 平行 ” 為不變性，便可知原命題成立。 公理集合的相容性 形式公理體系的相容性證明的模型方法 例如，平面幾何公理系統(tǒng)的解析模型 羅巴切夫斯基幾何學(xué)的模型相對相容性的解決方法選用一個(gè)，大家都相信它具有邏輯相容性的領(lǐng)域（比如上面這個(gè)代數(shù)領(lǐng)域），用這里的材料來保證陌生公理體系的相容性。 ? 例如，用公理 IV給出下述命題的證明： ? 命題：聯(lián)接圓內(nèi)的一點(diǎn) A與圓外一點(diǎn) B的直線段與該圓周有一個(gè)公共點(diǎn)。歷史的事實(shí)卻殘酷的告訴我們，羅氏幾何遲至今日也沒能在物理空間找到應(yīng)用，只有在邏輯的范疇內(nèi)，利用公理化的思想與方法找到它存在的“ 合理性 ” 黎曼幾何在相對論中的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用。 于是，作得一個(gè)△ ABB1,而直線 AC經(jīng)過其內(nèi)部，所以 AC必與底邊 BB1相交。 三大作圖問題與 《 圓錐曲線 》 三個(gè)作圖問題：