異面直線的夾角專題(教師版)(專業(yè)版)
【正文】 60176。異面直線所成角的幾種方法異面直線所成角的大小，是由空間任意一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來(lái)定義的．準(zhǔn)確選定角的頂點(diǎn)，平移直線構(gòu)造三角形是解題的重要環(huán)節(jié)．本文舉例歸納幾種方法如下，供參考．方法一：抓異面直線上的已知點(diǎn)過(guò)一條異面直線上的已知點(diǎn)，引另一條直線的平行線(或作一直線并證明與另一直線平行)，往往可以作為構(gòu)造異面直線所成角的試探目標(biāo)．例1：如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DDAB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是？ 解：連B1G，則A1E∥B1G，知∠B1G F就是異面直線A1E與GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF＝＝0， 故∠B1G F＝90176。] （D）[60176。] （C）[30176。：在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF＝，求AD、BC所成角的大小．：長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2cm，AA1=4cm，求異面直線BD1與AD所成的角的余弦值？方法二：抓異面直線(或空間圖形)上的特殊點(diǎn)考察異面直線上的已知點(diǎn)不湊效時(shí)，抓住特殊點(diǎn)(特別是中點(diǎn))構(gòu)造異面直線所成角是一條有效的途徑.例2：設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45176。120176。90176。此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小為多少？解：取AE中點(diǎn)G, 連結(jié)GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED． ∴ GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG為平行四邊形，∴MN//BG∵A的射影為B．∴AB⊥面BCD
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