【微積分】定積分的幾何應用(專業(yè)版)
【正文】 回顧 曲邊梯形求面積的問題 ?? ba dxxfA )(第八節(jié) 定積分的幾何應用 曲邊梯形由連續(xù)曲線)( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成。 a b x y o )(xfy ?a b x y o )(xfy ?提示 若用 A? 表示任一小區(qū)間],[ xxx ?? 上的窄曲邊梯形的面積，則 ? ?? AA ，并取 dxxfA )(?? ，于是 ?? dxxfA )(?? dxxfA )(l i m .)(?? ba dxxf x dxx ?dA面積元素 把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個長度為ix?的小區(qū)間，相應 的曲邊梯形被分為 n 個小窄曲邊梯形，第 i 個小 窄曲邊梯形的面積為iA?，則 ????niiAA1. 元素法的一般步驟： 設想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為 ],[ dxxx ? ，求出相應于這小區(qū)間的部分量 U? 的近似值 . 如果 U? 能近似地表示為 ],[ ba 上的一個連續(xù)函數在 x 處的值 )( xf 與 dx的乘積，就把 dxxf )( 稱為量 U 的元素且記作dU ，即 dxxfdU )(? . 設 U 是與一個變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關的量，且 U 對于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性； 以 元素 dxxf )( 為被積表達式 在 ],[ ba 上作定積分，得 ?? badxxfU )(， 即為所求量 U 的積分表達式 . 這個方法通常叫做 元素法 ． xyo)( xfy ?a b xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?a b曲邊梯形的面積 ?? ba dxxfA )(曲邊梯形的面積 ? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12一、平面圖形的面積 x xxx ?? xx ??? ?? ba dxxfxfA )()( 12一般例 1 計算由兩條拋物線 xy ?2 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 .解 兩曲線的交點 )1,1()0,0(面積元素 dxxxdA )( 2??選 為積分變量 x ]1,0[?xdxxxA )( 210 ?? ?10333223?????? ?? xx.31?2x
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