【微積分】體積(專業(yè)版)
【正文】 旋轉(zhuǎn)體 就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸 ． 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 二、體積 1. 旋轉(zhuǎn)體的體積 一般地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、直線 ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？取積分變量為 x ，],[ bax ?在 ],[ ba 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，取以 dx 為底的窄邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素， dxxfdV 2)]([??x dxx? x y o 旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV ba2)]([? ??)( xfy ?y例 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn) O 及點(diǎn) ),( rhP 的直線、直線hx ? 及 x 軸圍成一個(gè)直角三角形．將它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為 r 、高為 h 的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積．r解 hPxhry ?取積分變量為 x ，],0[ hx ?在 ],0[ h 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，xo直線 方程為 OP以 dx 為底的窄邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為dxxhrdV2????????圓錐體的體積dxxhrV h20 ???????? ?hxhr03223 ????????.32hr??yrhPxoayxb例 2. 計(jì)算由橢圓 所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而 轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積 . 解 : 方法 1 利用直角坐標(biāo)方程 則 xxaab a d)(π2 20222?? ?(利用對(duì)稱性 ) ?????? ?? 322231π2 xxaab0a 2π34 ab?O?? aV 02 xy dπ 2x方法 2 利用橢圓參數(shù)方程 則 xyVa dπ202??? ??? 0222 )s i n(s i nπ2? dttatb2π2 ab? 32? 2π34 ab?1?特別當(dāng) b = a 時(shí) , 就得半徑為 a 的球體的體積 .π34 3aayxbO x?? 20 32 si nπ2?t d taba? aoyx例 2 求星形線 323232ayx ?? )
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