【正文】 通常稱(chēng)為弦振動(dòng)方程。 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 3 一 . 偏微分方程的基本概念 ),( 21 nxxxx ??自變量 ),()( 21 nxxxuxu ?? 未知函數(shù) 1211 1 2( , , , , , , , , ) 0nmn mmmnnu u uF x x ux x x x x? ? ? ?? ? ? ? ?偏微分方程的一般形式 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 4 PDE的階： PDE的解 古典解 廣義解 一些概念 是指這樣一個(gè)函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有 m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 假設(shè)這運(yùn)動(dòng)發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點(diǎn)位移隨時(shí)間變化規(guī)律。 0)(2)( 22212211 ??? dxad x d yadya11221121212aaaaadxdy ???（ 6） 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 33 記 2211212),( aaayx ???定義 方程 (1)在點(diǎn) M 處是 雙曲型： 橢圓型： 拋物型： 若在點(diǎn) M處，有 0),( ?? yx若在點(diǎn) M處，有 0),( ?? yx若在點(diǎn) M處，有 0),( ?? yx( , )xy浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 34 雙曲型 PDE 0),(2211212 ???? aaayx11221121212aaaaadxdy ???右端為兩相異的實(shí)函數(shù) 它們的一般積分為 ,),( Cyx ?? Cyx ?),(??????),(),(yxyx????由此令 ，方程（ 1）可改寫(xiě)為 2 u u uA B C u? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型 ???????????ts221 1 122u u u uA B C us t s t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 35 拋物型 PDE 0),(2211212 ???? aaayx1112aadxdy ?由此得到一般積分為 ,),( Cyx ???????),(),(yxyx????由此令 ，其中 ),( yx?),( yx? 與 獨(dú)立的任意函數(shù)。 )(zfr1ln 也是解 22 yxr ??06 33????????? x uxuutu6. 特解都不易找到 KDV方程 舉例 （未知函數(shù)為二元函數(shù)） ` 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 10 7. uxt euuu ??擬線性 PDE 8. 22 vvvvv yyyxxx ?? 擬線性 PDE 9. )())(,(yxvyyxx vvevvyxa ??? 半線性 PDE 10. uuuxt s in??半線性 PDE 11. ? ? ? ?222 uuu xt ??完全非線性 PDE 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 11 舉例 (多元函數(shù) ) 0222222?????????zuyuxutuzuyuxu???????????22222222222222tuzuyuxu???????????拉普拉斯 (Laplace)方程 熱傳導(dǎo)方程 波動(dòng)方程 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 12 二 . 定解問(wèn)題的適定性 定解問(wèn)題 PDE 定解條件 初值條件 邊值條件 初、邊值條件 初值問(wèn)題、邊值問(wèn)題、混合問(wèn)題 浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 13 經(jīng)典的定解問(wèn)題舉例 波動(dòng)方程的初值問(wèn)題（一維） ???????????????????????)(),()(),(,0 ),(0022222xtxtuxtxuRxttxfxuatutt??浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系 14 經(jīng)典的定解問(wèn)題舉例 熱傳導(dǎo)方