【正文】 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 ( 2 ) 設(shè) 兩 總體1 1 2 2x ~ ( , ) , x ~ ( , ) , 0ppNN ?? ? ? ? ?， 從總體 12x , x中獨(dú)立抽取容量分別為1n和2n的 樣本 ， 樣本均 值分別記為1x和2x，樣本 協(xié)方 差矩陣 分別記為1S和 2S，記 樣本 聯(lián)合 協(xié)方差矩陣 ? ? ? ?1 1 2 212112pn S n SSnn? ? ???? 則 當(dāng)12?? ?時(shí) 121211x x ~ 0 , 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 第四節(jié) 抽樣分布 一 、 隨機(jī)矩陣的分布 設(shè) ()ij p qXx ??為 隨機(jī)矩陣， X 的分布 是指將其列向量一個(gè)接一個(gè)地組成的一個(gè)長(zhǎng)向量的分布，即向量 ? ?1 1 1 1 2 2 1, , , , , , , , ,p p q p qx x x x x x x ?? 的分布 。 由此引理可知，當(dāng) n p 時(shí)， A 正定， ? 和 ? 的極大似然估計(jì)分別為 ? x,? ?111? ( x x ) ( x x )niiiAnn??? ? ? ? ??此時(shí)似然函數(shù)最大值為 2 2 2 2,1m a x ( , ) x , ( 2 ) | |n p n n p n pL L A A n en? ??? ? ????? ? ?????多元統(tǒng)計(jì)分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 例 3 . 2. 4 設(shè)4x ~ ( , )N ? ?， 這里 1234xxxxx?????????????，1234??????????????????，11 12 13 1421 22 23 2431 32 33 3441 42 43 44? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????????? 則 ( 1 ) ~ ( , ) , 1 , 2 , 3 , 4 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 一元正態(tài)分布的定義 則稱(chēng) x 服從參數(shù)為 ? , ? 2 的 正態(tài)分布 ， 記作 x ~ N ( ? , ? 2 ) 定義 若 . x 的密度函數(shù)為 ?????????xexfx222)(21)( ??????, 為常數(shù)， 0??其中 亦稱(chēng)高斯 (Gauss)分布 多元統(tǒng)計(jì)分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 1. 設(shè) x是一個(gè) p 維隨機(jī)向量 ， 則 x服從多元正態(tài)分布 ， 當(dāng)且 僅當(dāng)它的任何線(xiàn)性組合 a’x( a 為 p 維常數(shù)向量 )均服從 一元正態(tài)分布 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 二 、 多元樣本的數(shù)字特征 ? ?1211x x , , ,nipix x xn?????1. 樣本均值向量 2. 樣本離差矩陣 3. 樣本協(xié)方差矩陣 1( x x ) ( x x )niiiA??? ? ?? ? ?1x x x xni i ij ppina ????? ? ??？ ? ?111 ( x x ) ( x x )11ni i i j ppiS A snn ???? ? ? ? ??? ?其中 1( ) ( )nij k i i k j jka x x x x?? ? ??11 ( ) ( )1ni j k i i k j jks x x x xn?? ? ?? ?其中 多元統(tǒng)計(jì)分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義 : 無(wú)系統(tǒng)誤差 . 以買(mǎi)水果為例加以說(shuō)明 1. 無(wú)偏性 設(shè) ?? 是未知參數(shù) ? 的估計(jì)量，若 ?()E ?? ? ，則稱(chēng)估計(jì)量 ?? 是被估參數(shù) ? 的一個(gè) 無(wú)偏估計(jì)量 ， 否則 稱(chēng)為 有偏估計(jì)量 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 三 、 T 2 分布 1. 定義 設(shè)~ ( , )pW W n ?，x ~ ( 0 , )pNc ?， 0 , , 0c n p? ? ? ?且W 與 x 相互獨(dú)立 . 令 21 x xnTWc??? 稱(chēng)隨機(jī) 變量 2T 所服從的分布為 第一自由度為 p ，第二 自由度為 n 的中心 2T 分布 ，記為 22 ~ ( , )T T p n 。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 當(dāng) p ，2n不屬于上表所列舉的情況時(shí)， Bart lett 指出可用 2?分布近似表示，即 221 2 1 2 21l n ( , , ) ~ ( )2pnV n n p n n p n?????? ? ? ? L????近 似 。 Wi s ha rt 分布是 2? 分布在多元情形下的推廣。 1211 2 2 2 1 21 . 2 3 1 2011σ σm a x ( , x )p l xl?? ?????? ????????1211 2 2 2 1 21 . 2 3 1 . 2 311s s?ppSrs??????? ????多元統(tǒng)計(jì)分析 169。多元統(tǒng)計(jì)分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 多元統(tǒng)計(jì)分析 169。 謝中華 , 天津科技大學(xué)數(shù)學(xué)系 . 2022/5/31 二 、 多元正態(tài)分布的定義 定義 設(shè) p 維隨機(jī)向量 則 u 的密度函數(shù)為 12u ( , , , ) ,pu u u ?? 12, , , ~ ( 0 , 1 )iidpu u u N1 2 211( u ) ( 2 ) e x p2piifu? ?????? ?????2211( 2 ) e x p2ppiiu? ?????? ?????2 1( 2 ) e xp u u ,2p? ? ?? ??? ????, 1 , 2 , ,iu i p? ? ? ? ? ? ?u的均值和協(xié)方差矩陣分別為 12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) 0pE E u E u E u ???12( u ) ( ( ) , ( ) , , ( ) )pV d ia g V u V u V u I???u的分布稱(chēng)為均值為 0，協(xié)方差矩陣為 I 的 p 元正態(tài)分布 ，記作 u ~ ( 0 , )pNI多元統(tǒng)計(jì)分