【正文】 A??????????321321321CCCAAABBB , 其中都是 qp? 矩陣 . 則 39。行列式 。39。A ?? A [7]. 例 計算行列式 ?D0000xyzxzyyzxzyx. 解 設 ?A ?????? 00x x, ?B ?????? yz zy,則 ?D AB BA ? AAB BBA?? ? BA BBA ??0 ? BA? BA? , 這里的 BA, 可為任一 n 階矩陣 , 所以 ?Dyzx zxy? ? yzx zxy ?? ??? ? ?22 zxy ?? ? ?22 zxy ?? ? ? ?zyx ?? ? ?zyx ??? ? ?zyx ?? ? ?zyx ??? . 用分塊矩陣計算行列式 在線性代數(shù)中經(jīng)常需要求一些繁雜的行列式 ,由于在行列式階數(shù)較高情況下直接運算難以很 快得出結果 ,但是借助于分塊矩陣的初等變換來計算行列式可大大簡化行列式計算 . 關于分塊矩陣有以下引理和推論 : 定理 設 ??????? DC BAT ,其中 DA, 分別是 m 階和 n 階方陣 ,B 是 nm? 階矩陣 ,C 7 是 mn? 階矩陣 ,則 (1) 當 A 可逆時 ,有 ?TDC BA? A BCAD 1?? . (2) 當 B 可逆時 ,有 ?TDC BA? D CBDA 1?? . 證明 (1)由于 A 為可逆矩陣 ,用分塊矩陣的初等變換 C 把消為零矩陣 ,得 ?????? ??????????????? ?? BCAD BADC BAECAE nm 11 00 對兩邊的矩陣取行列式 ,并且由 101 ???????? ? nm ECAE ,得 ?T BCAD 1?? . (2)與 (1)的證明大致相同 . 推論 設 DCBA , 都是 n 階方陣 ,其中 A ? 0,并且 CAAC? ,則有 DC BA? CBAD? . 證明 根據(jù)性質 ,因為 1?A 存在 ,并有 CAAC? ,用 ? ?1??CA 乘矩陣 ?????? DC BA的第一行后加到第二行中去得 BCADABCAD BCAA 1110??? ???????? ?? CBADBC A AADBA C AAD ????? ?? 11 . 例 計算行列式 ?P4110320143422113. 解 設 ?PDC BA,其中 ?A ?????? 42 13, ?B ?????? 43 21, ?C ?????? 10 01, ?D ?????? 41 32. 8 由計算知 010??A ,且 CAAC? , 所以 P ? CBAD? ? ????????????????????????? 432110 0141 3242 13 ? 185 116 53? . 利用分塊矩陣求高階行列式 推論 設 BA, 都是 n 階方陣 ,則有 AB ? A B . 證明 作 n2 階行列式 EAABC 0?, 由拉普拉斯展開定理得 C ? AB E ? AB ,又由性質 并應用于列的情況 , 則有 EAAB0?EEB AABAB??0?EB A?0? ? ? nn 2.......3211 ??????? A B? ? ? ? ? ? ? BABA nnn ???? ? 11 [8]. 推論 設 BA, 都是 n 階方陣 ,則有 AB BA? BA? BA? . 證明 根據(jù)性質 ,并應用于下列的情況 ,有 AB BA?AAB BBA???BABBA ??0? BA? BA? . 例 計算 n2 階行列式