【正文】 解 ][)]([ tieEtZE ??? 0][ ?? ?? Ee ti),( 21 ttR ][ 21 titi eeE ?? ?? ??][ 2)( 21 ?? Ee tti ?? )( 21 ttie ?? ?][ 21 titi eeE ?? ?? ???返回 首頁 第四節(jié) 幾種重要的隨機過程簡介 一、獨立增量過程 1． 定義 隨機變量的增量 是相互獨立的 設 { )( tX , Tt ? } 是一隨機過程，若對任意正整數(shù) n 及 Ttt n ?,1 ?， ，nn tttt ???? ? 121 ?)()( 12 tXtX ? , )()( 23 tXtX ? ,? , )()( 1?? nn tXtX則稱 )( tX 為獨立增量的過程首頁 2． 齊次性 或稱時齊的 注 若對任意的 t ， Tt ?? ? ，增量 )()( tXtX ?? ? 的概率分布只依賴于 ? 而與 t 無關(guān)，則稱隨機過程 )( tX 為齊次的，若 )( tX 是齊次的，所以只要時間間隔 ? 相同那么增量服從的分布也相同，具有平穩(wěn)性增量所服從的分布與時間起點無關(guān)首頁 例 1 證 設 { )( nX ， ?,2,1,0?n } 是相互獨立的隨機變量序列，令 )()(0nXiYin???則 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個獨立增量過程。 { 0121 或；，； ?? nn xnx ? }首頁 設 P { 1?nx } = p （第 n 次拋擲出現(xiàn)正面的概率） P { 0?nx } = q = 1 ? p （第 n 次拋擲出現(xiàn)反面的概率）其中 P { 1?nx } = p 與 n 無關(guān)，且 ix 、 kx ( ki ? 時 ) 是相互獨立的隨機變量。 事實上 指數(shù)分布的失效率函數(shù)是常數(shù)。 首頁 通常當我們觀察到 時， 是一切對 Y的估值中均方誤差最小的一個，我們稱之為 Y關(guān)于 X的回歸 。 同樣 稱為在條件 下，隨機變量 Y的條件分布律。 這樣可定義一個 新的事件 ，記為 nn E??limiinn EE?????1l i m ? 1?? nn EEiinn EE?????1lim ?1?n1?? nn EE1?n首頁 2．連續(xù)性定理 若 是遞增的或遞減的事件序列， }1{ ?nEn，)l i ml i m nnnnEPEP????? （）（證明 }1{ ?nE n， nF11 EF ? cnncininnEEEEF 111)( ????? ? 1?nnF nEiEni ?則 即 由包含在 中但不在任何 前面的 （ ）中的點組成。 設 是遞增序列 ， 并定義事件 ： 定理 1 11 EF ?2F3F首頁 容易驗證 （ ）是互不相交的事件， 且滿足 iiii EF?????11?? iniiniEF11 ??? ??nF1?n和 于是 ）（）（ iiiiFPEP ?????11?? )1????iiFP （)lim1?????niin FP （)(lim1 ininFP???? ? )(l i m 1 ininEP???? ? )(l imnn EP???首頁 設 E為隨機試驗 ， ?為其樣本空間 ， A、 B 為任意兩個事件 ， 四 、 條件概率 0?）（ AP）（）（）（APABPABP ?|為事件 A出現(xiàn)的情況下，事件 B的 條件概率 ，或簡稱事件 B關(guān)于事件 A的 條件概率 。 )(),()|(yfyxfyxfY?yY ?)(),()|(xfyxfxyfX?xX ?注意 ：分母不等于 0 返回 首頁 第三節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 一、期望和方差 1．期望 設 離散型 隨機變量 X的分布律為 則 kk pxXP ?? )( ?,2,1?k)(XE kkkpx????1 設 連續(xù)型 隨機變量 X的概率密度為 ， )(xf則 )(XE dxxxf )(?????? 首頁 函數(shù)期望 當 X為 離散型 隨機變量 則 當 X為 連續(xù)型 隨機變量， 則 )( XgY ??? )]([)( XgEYEkkkpxg )(1????? )]([)( XgEYE dxxfxg )()(?????首頁 2。 例 3 設身高為 x（ cm） 的男子 ， 其成年兒子的身高服從均值為 ， 方差為 10的正態(tài)分布 ， 問身高為 175cm的男子 ， 其成年兒子的身高的最佳預測值是多少 ？ 令 X表示父親身高， Y表示兒子身高，則 xX ? )|( xXYE ?3?x解 ???? 3XY ??N（ 0， 10） 與 X獨立 Y的最佳預測是 )1 7 5|( ?XYE )175|3( ???? XXE ?)175|(3175 ???? XE ? 178)(178 ??? ?E即其成年兒子的身高的最佳預測值是 178cm。參數(shù) 常稱為分布的 生起率 （或速率）。稱具有這種特性的隨機過程為 貝努利型隨機過程 。??? )1()( iYiY )( iX （ ?,2,1?i ）而 )( iX （ ?,2,1?i ）是相互獨立的所以 { )( iY ， ?,2,1,0?i } 是一個獨立增量過程。])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?首頁 自相關(guān) 關(guān)系 )()()( tiYtXtZ ?? 的自相關(guān)函數(shù)可有 )( tX 和 )( tY 的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)表示即 ])()([E),( 2121 tZtZttR Z ?)],(),([),(),( 21212121 ttRttRittRttR XYYXYX ????類似地 ])()([E),( 22112121 tZtZttR ZZ ?),(),( 2121 2121 ttRttR YYXX ??)],(),([ 2121 2112 ttRttRi YXXY ??互相關(guān) 關(guān)系 首頁 例 1 已知復隨機過程 tietZ ???)( ， 1Rt ?其中 ? ? N （ 0 ， 1 ）， ? 是給定常數(shù)，求 )( tZ 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。 每次拋擲的結(jié)果與先后各次拋擲的結(jié)果是相互獨立的，并且出現(xiàn) 1或 0的概率與拋擲的時間 n無關(guān)。 }|{ tXdttXtP ????}|{ tXdttXtP ????}{},{tXPtXdttXtP??????}{}{tXPdttXtP?????)()(tFdttf? dtt )(??)(t?)(t?首頁 3．生起率 假設壽命分布是指數(shù)分布，那么由無記憶性，一個 t 歲的元件的剩余壽命的分布與一個新元件的壽命分布相同，因此應當是常數(shù)。 則 )|( XYE)(xg]))([( 2XgYE ? ]))|([( 2XYEYE ??]|))([( 2 XXgYE ?]|))()|()|([( 2 XXgXYEXYEYE ????首頁 ]|))|([( 2 XXYEYE ??]|))()|([( 2 XXgXYEE ??))|([(2 XYEYE ?? ]|))()|(( XXgXYE ?由于 當 X取定值時是常數(shù)， )()|( XgXYE ?所以 ))()|(( XgXYE ? 0]|))|([( ??? XXYEYE故得 ]|))([( 2 XXgYE ? ]|))|([( 2 XXYEYE ??由定理 1，兩邊取數(shù)學期望，即得證。 首頁 4． 條件分布函數(shù) 連續(xù)型 稱為在條件 下，隨機變量 X的條件分布律 。 首頁 二、概率的性質(zhì)： 1 0?）（ ?P2 ）（）（）（）（ EFPFPEPFEP ????3 )(1)( EPEP c ??4 設 nEEE ， ?21兩兩互不相容 ，則 )11????niiiniEPEP （）（ ?5 設兩兩互不相容的事件 ， ?21 EE ???? iiE1?則對于任意事件 A，有 )1????iiEAPAP ?（）（首頁 三、概率的連續(xù)性 1．極限事件 對于事件 若 ， ?21 EE1?? nn EE1?n 則稱事件序列 }1{ ?nE n， 遞增 ， 若 1?? nn EE1?n 則稱事件序列 }1{ ?nE n，遞減。 若 1． 定義 則稱 首頁 定理 2（ 乘法公式 ） 2． 基本公式 假設 為任意 n個事件（ ）， nAAA ， ?212?n021 ?）（ nAAAP ??? )|()|()( 21312121 AAAPAAPAPAAAP n ?）（）（ 121| ?nn AAAAP ?若 則 首頁 定理 3（ 全概率公式與貝葉斯公式 ） 設事件 兩兩互不相容， nBBB ， ?21 ??? iniB1?0?）（ iBP ni ,21 ?，?則（ 1）對任意事件 A，有 )|)(1iiniBAPBPAP （）（???（ 2）對任意事件 A ，若 ，有 0?）（ AP)|)|)|(1iiniiiiBAPBPBAPBPABP（）（（）（???首頁 五、獨立性 如果事件 A， B滿足 ）（）（）（ BPAPABP ? 設 是 n個事件，如果對于任意 和 ，有 nAAA ， ?21)2( ns ??s niii s ????? ?211）（）（）（）（ ss iiiiii APAPAPAAAP ?? 2121 ?則稱事件 相互獨立 。方差 稱隨機變量 的期望為 X的方差，即 計算方差時通常用下列關(guān)系式： 2)]([ XEX ?)( XD ]))([( 2XEXE ??)( XD 22 )]([][ XEXE ??首頁 3． 性質(zhì) （ 1） （ 2） （ 3） 若 X和 Y相互獨立，則 CCE ?)( 0)( ?CD)()( XCECXE ? )()( 2 XDCCXD ??????niinii XEXE11)()()()()( YEXEXYE ?（ 4） 0)( ?XD 的充要條件是 1)]([ ?? XEXP返回 首頁 3． 性質(zhì) （ 5）（柯西 — 許瓦茲不等式） 等式成立當且僅當 （ 6） 若 X為非負整數(shù)值的隨機變量，則 證 )()(|)(| 222 YEXEXYE ??1)( 0 ?? XtYP)()(1iXPXEi?? ???首頁 （ 7）若 X為非負值的隨機變量，則 1( ) ( )kE X k P X k?????? ?? ?? 0 )(1)( dxxFXE ）（)1( ?? XP)2()2( ??