高中數(shù)學(xué)423直線與圓的方程的應(yīng)用教案新人教a版必修2(更新版)
【正文】 ＞ 0)的點(diǎn) A和 B,進(jìn)攻隊(duì)員沿直線 AD向安全線跑動(dòng) ,防守隊(duì)員沿直線方向向前攔 截 ,設(shè) AD和 BM交于 M,若在 M點(diǎn) ,防守隊(duì)員比進(jìn)攻隊(duì)員先到或同時(shí)到 ,則進(jìn)攻隊(duì)員失敗 ,已知進(jìn)攻隊(duì)員的速度是防守隊(duì)員速度的兩倍 ,且他們雙方速度不變 ,問(wèn)進(jìn)攻隊(duì)員的路線AD應(yīng)為什么方向才能取勝 ? 圖 5 解 :如圖 5,以 l為 x軸 ,C 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系 ,設(shè)防守隊(duì)員速度為 v,則進(jìn)攻隊(duì)員速度為 2v,設(shè)點(diǎn) M 坐標(biāo)為 (x,y),進(jìn)攻隊(duì)員與防守隊(duì)員跑到點(diǎn) M 所需時(shí)間分別為t1= vAM2 || ,t2= vBM|| . 若 t1＜ t2,則 |AM|＜ 2|BM|,即 2222 )(2)2( ayxayx ????? . 整理 ,得 x2+(y32 a)2＞ (32 a)2,這說(shuō)明點(diǎn) M應(yīng)在圓 E:x2+(y32 a)2=(32 a)2以外 ,進(jìn)攻隊(duì)員方能取勝 .設(shè) AN 為圓 E的切線 ,N為切點(diǎn) ,在 Rt△AEN 中 ,容易求出 ∠EAN=30176。(4)xy的最值 . 活動(dòng)： 學(xué)生思考或交流 ,教師引 導(dǎo) ,數(shù)形結(jié)合 ,將代數(shù)式或方程賦予幾何意義 . 解 :(x2)2+(y3)2=1 表示以點(diǎn) C(2,3)為圓心 ,1為半徑的圓 . (1)xy 表示圓 C上的點(diǎn) P(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)連線的斜率 k, 故當(dāng) y=kx為圓 C的切線時(shí) ,k得最值 . ∵21|32| kk?? =1,∴k=2177。 221? =519, ∴ 所求面積最小的圓的方程是 (x+53 )2+(y59 )2=519 . 點(diǎn)評(píng) :要熟練地進(jìn)行圓的一般式與標(biāo)準(zhǔn)式之間的互化 ,這里配方法十分重要 ,方法二用到求弦長(zhǎng)的公式 |AB|=|x1x2|178。 2 . ∴x y的最大值為 1+ 2 ,最小值為 1 2 . 點(diǎn)評(píng) :從 “ 數(shù) ” 中認(rèn)識(shí) “ 形 ”, 從 “ 形 ” 中認(rèn)識(shí) “ 數(shù) ”, 數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)思維的 基本方法之一 .“ 數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī) 的統(tǒng)一體 ,它的生命力的一個(gè)必要條件是所有的各個(gè)部分不可分離地結(jié)合 .”( 希爾伯特 )數(shù)形結(jié)合的思維能力不僅是中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要標(biāo)志之一 ,而且也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本能力 .本題是利用直線和圓的知識(shí)求最值的典型題目 . 例 3 已知圓 O的方程為 x2+y2=9,求過(guò)點(diǎn) A(1,2)所作的弦的中點(diǎn)的軌跡 . 活動(dòng)： 學(xué)生回想求軌跡方程的方法與步驟 ,思考討論 ,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示 ,本題可利用平面幾何的知識(shí) . 解法一 :參數(shù)法 (常規(guī)方法 ) 設(shè)過(guò) A 的弦所在的直線方程為 y2=k(x1)(k 存在時(shí) ),P(x,y),則??? ??? ?? ),2( ,922 kkxy yx 消y,得 (1+k2)x2+2k(2k)x+k24k5=0. ∴x 1+x2=1)2(2 2 ??kkk. 利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及中點(diǎn)在直線上 ,得??????????????12,1)2(22kkykkkx(k 為參數(shù) ). ∴ 消去 k得 P 點(diǎn)的軌跡方程為 x2+y2x2y=0,當(dāng) k 不存在時(shí) ,中點(diǎn) P(1,0)的坐標(biāo)也適合方程 . ∴P 的軌跡是以點(diǎn) (21 ,1)為圓心 , 25 為半徑的圓 . 解法二 :代點(diǎn)法 (涉及中點(diǎn)問(wèn)題可考慮此法 ) 設(shè)過(guò)點(diǎn) A的弦 MN,M(x1,y1),N(x2,y2). ∵M(jìn) 、 N在圓 O上 ,∴?????????.9,922222121yxyx .∴ 相減得 (x1+x2)+2121 xx yy ?? 17
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