高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換階段質(zhì)量評(píng)估新人教a版必修4(更新版)
【正文】 22 ＋ 22 － 12＝ 12. (2)∵ f(x)＝ sin xcos x＋ cos2x－ 12 ＝ 12sin 2x＋ 1＋ cos 2x2 － 12 ＝ 12sin 2x＋ 12cos 2x＝ 22 sin ??? ???2x＋ π 4 ， ∴ T＝ 2π2 ＝ π. 由 2kπ － π2 ≤2 x＋ π4 ≤2 kπ ＋ π2 ， k∈ Z，得 kπ － 3π8 ≤ x≤ kπ ＋ π8 ， k∈ Z. ∴ f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ??? ???kπ － 3π8 ， kπ ＋ π 8 ， k∈ Z. 方法二： f(x)＝ sin xcos x＋ cos2x－ 12 ＝ 12sin 2x＋ 1＋ cos 2x2 － 12 ＝ 12sin 2x＋ 12cos 2x＝ 22 sin ??? ???2x＋ π 4 . (1)∵ 0＜ α ＜ π2 ， sin α ＝ 22 ， ∴ α ＝ π4 . 從而 f(α )＝ 22 sin ??? ???2α ＋ π4 ＝ 22 sin 3π4 ＝ 12. (2)T＝ 2π2 ＝ π. 由 2kπ － π2 ≤2 x＋ π4 ≤2 kπ ＋ π2 ， k∈ Z，得 kπ － 3π8 ≤ x≤ kπ ＋ π8 ， k∈ Z. ∴ f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ??? ???kπ － 3π8 ， kπ ＋ π 8 ， k∈ Z. 22． (本小題滿分 14 分 )函數(shù) f(x)＝ cos??? ???－ x2 ＋ sin??? ???π － x2 ， x∈ R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(α )＝ 2 105 ， α ∈ ??? ???0， π2 ，求 tan??? ???α ＋ π 4 的值． 解： (1)f(x)＝ cos??? ???－ x2 ＋ sin??? ???π － x2 ＝ sinx2＋ cosx2＝ 2sin??? ???x2＋ π4 ， 故 f(x)的最小正周期 T＝ 2π12＝ 4π . (2)由 f(α )＝ 2 105 ， 得 sinα2 ＋ cosα2 ＝ 2 105 ， 則 ??? ???sinα2＋ cosα2 2＝ ??? ???2 105 2， 即 1＋ sin α ＝ 85， 解得 sin α ＝ 35. 又 α ∈ ??? ???0， π2 ， 則 cos α ＝ 1－ sin2α ＝ 1－ 925＝ 45， 故 tan α ＝ sin αcos α ＝ 34. 所以 tan??? ???α ＋ π 4 ＝tan α ＋ tanπ41－ tan α tanπ 4＝34＋ 11－ 34＝ 7.
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