【正文】 記所以因?yàn)閺亩鴶?shù)列于是，為遞增數(shù)列，所以當(dāng)．（），使成等差數(shù)列，則，時(shí)取最小值，（3）假設(shè)存在正整數(shù)即，若為偶數(shù)，則若為奇數(shù)，設(shè)于是當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，上式不成立.，則，與矛盾；，即，此時(shí)4．已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。為正偶數(shù)恒成立，錯(cuò)誤！未找到引用源。要使錯(cuò)誤！未找到引用源。為偶數(shù)時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。．⑴ 求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。所以當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。不成立，當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。成立，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。；（3）問(wèn)是否存在正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。注：對(duì)于錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。① 判定錯(cuò)誤！未找到引用源。為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。則有：錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式為錯(cuò)誤！未找到引用源。中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。.例如：錯(cuò)誤！未找到引用源。！未找到引用源。而錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。例如常數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。的指數(shù)類(lèi)函數(shù)）③ 錯(cuò)位相減：通項(xiàng)公式為“等差錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。(n＋2)＝錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意錯(cuò)誤！未找到引用源。并說(shuō)明理由；（2）求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。且滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。的最小值；（3）若數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的最大值.【答案】⑴見(jiàn)解析⑵錯(cuò)誤！未找到引用源。若當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。可推廣為：錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立，求錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。的前錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）求證:錯(cuò)誤！未找到引用源。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；錯(cuò)誤！未找到引用源。；若錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類(lèi)型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。限于篇幅所限，本文就不做闡述了。()k2(1m)1=8(1)k1230。,229xkxk1xk+xk1xkxk1xk2xk21112=2∴xk+1xk=2 244xk+2xk1+2(xk+2)(xk1+2)∴xk+1xk=*xk+1xkxkxk1xk1xk2xkxk1Lx3x2()k2x3x2=()k2x3x24418x4x3對(duì)m206。(n179。2n23，\163。2(ak1+1)且a1+1179。N)2342212分析：尋求合適的處理手法，可以通過(guò)分組“捆綁”進(jìn)行放縮。bk2n31+an1an+13k=1分析：bn=111+n+13n3n+13n+113n+11+111=n+n+1=n+n+1=2n+n+1 13+1313+1313+1313n+111+3n3n+1n111111111\229。()=(++L)=(1)，不等式左邊得證。n(n+1)(n+1)2sn例2．設(shè)SnL 22分析：此數(shù)列通項(xiàng)為ak=因?yàn)閗knk(k+1),k=1,2,+(k+1)1，\kk(k+1)k+ 22k(k+1)nn(n+1)(n+1)21sn\229。證明：左邊1++11111717111=1++()+K+()== +K423n1n4n442180。n若采取“很明顯，放得有點(diǎn)大了，導(dǎo)致傳遞性失敗，不等式鏈中斷，放縮失敗。一、常見(jiàn)的放縮方法常見(jiàn)的放縮方法法有：1.“添舍”放縮：對(duì)不等式一邊添項(xiàng)或舍項(xiàng)以達(dá)到放大和縮小的效果；：分別放縮分子、分母或者同時(shí)放縮分子分母以達(dá)到放縮的效果；：把欲證不等式變形構(gòu)造，然后利用已知的公式或恒不等式進(jìn)行放縮，例如均值不等式、柯西不等式、絕對(duì)值不等式、二項(xiàng)式定理、貝努力公式、真分?jǐn)?shù)性質(zhì)等。為了幫助更多的學(xué)生突破這一難點(diǎn)，我們從以下幾個(gè)方面對(duì)放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略進(jìn)行分析。3(n1)180?？梢哉{(diào)整放縮的項(xiàng)數(shù)，從第三項(xiàng)開(kāi)始放縮?！肮椒ㄇ蠛汀边x擇恰當(dāng)?shù)姆趴s方法，通過(guò)“通項(xiàng)”的適度放縮使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，從而利用求和達(dá)到簡(jiǎn)化．．．．證題的目的。229。k=11k2[(2)+(2)+L(n+1n)]=2(1+n+1)=2(n+11)n1n111=(),bn=+,證明：229。2,n206。2ak1+1,\ak+1179。anan1a11L3a2179。+，\179。2時(shí),Q0xk163。444248。如果不等式的一邊與求和沒(méi)有直接的關(guān)系，也可以辨析題目的結(jié)構(gòu)特征選擇合適的方法進(jìn)行處理，譬如“構(gòu)造單調(diào)數(shù)列”放縮；構(gòu)造“二項(xiàng)展開(kāi)式”放縮；對(duì)不等式的局部換元，然后再謀求放縮等。錯(cuò)誤！未找到引用源。如果題目條件無(wú)法體現(xiàn)出放縮的目標(biāo)，則可從所證不等式的常數(shù)入手，常數(shù)可視為錯(cuò)誤！未找到引用源。（累乘時(shí)要求不等式兩側(cè)均為正數(shù)），然后通過(guò)“累加”或“累乘”達(dá)到一側(cè)為錯(cuò)誤！未找到引用源。）．（1）求錯(cuò)誤！未找到引用源。若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。.錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足：錯(cuò)誤！未找到引用源。是數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)；②是否存在這樣的正整數(shù)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。試求數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。恒成立？若存在,求出錯(cuò)誤！未找到引用源。項(xiàng)和為錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，求證：當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。是否具有性質(zhì)錯(cuò)誤！未找到引用源。是等差數(shù)列；（2）若 錯(cuò)誤！未找到引用源。.9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}，{}滿(mǎn)足(n＋1)bn＝an＋1錯(cuò)誤！未找到引用源。．（1）若錯(cuò)誤！未找到引用源。的等比數(shù)列，若不等式錯(cuò)誤！未找到引用源。（關(guān)于錯(cuò)誤！未找到引用源。的形式，然后猜想構(gòu)造出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比，進(jìn)而得出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再與原通項(xiàng)公式進(jìn)行比較，看不等號(hào)的方向是否符合條件即可。另一側(cè)為求和的結(jié)果，進(jìn)而完成證明 應(yīng)用舉例:類(lèi)型一：與前n項(xiàng)和相關(guān)的不等式 例1.【2017屆江蘇泰州中學(xué)高三摸底考試】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)任意的錯(cuò)誤！未找到引用源。為等比數(shù)列，則有錯(cuò)誤！未找到引用源。得錯(cuò)誤！未找到引用源。定義錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。因此錯(cuò)誤！未找到引用源。.所以數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。）． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析．故錯(cuò)誤！未找到引用源。.其中錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，設(shè)錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。（2）錯(cuò)誤！未找到引用源。實(shí)戰(zhàn)演練: 1．【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）求錯(cuò)誤！未找到引用源。使得錯(cuò)誤！未找到引用源。為奇數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。且錯(cuò)誤！未找到引用源。⑶錯(cuò)誤！未找到引用源。對(duì)錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。與錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。滿(mǎn)足錯(cuò)誤！未找到引用源。將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。．點(diǎn)睛：數(shù)列求和時(shí)，要根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)選擇不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和等。？若存在，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足要求的數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．（2）當(dāng)錯(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。．6．【江蘇省泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試】已知兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和分別為（1），其中，設(shè)數(shù)列都為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列①若數(shù)列②若數(shù)列滿(mǎn)足：存在唯一的正整數(shù)“墜點(diǎn)數(shù)列”，求 為“墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列，使得，稱(chēng)數(shù)列為“墜點(diǎn)數(shù)列”.為“墜點(diǎn)數(shù)列”，是否存在正整數(shù)，使得，若存在，求的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）.（2）①，② ．【江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三高考模擬一】已知數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。；（2）若錯(cuò)誤！未找到引用源。又因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。所以錯(cuò)誤！未找到引用源。求解第一問(wèn)時(shí)，直接運(yùn)用題設(shè)條件中所提供的條件信息進(jìn)行驗(yàn)證即可；解答第二問(wèn)時(shí)，先運(yùn)用題設(shè)條件中定義的信息可得錯(cuò)誤！未找到引用源。因此構(gòu)成數(shù)集錯(cuò)誤！未找到引用源。.（1）求證：數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。求證： 錯(cuò)誤！未找到引用源。即數(shù)列錯(cuò)誤！未找到引用源。顯然，錯(cuò)誤！未找到引用源。的公差為錯(cuò)誤！未找到引用源。其中錯(cuò)誤！未找到引用源。時(shí)，因?yàn)殄e(cuò)誤！未找到引用源。即錯(cuò)誤！未找到引用源。錯(cuò)誤！未找到引用源。個(gè)正數(shù)，共同組成公比為錯(cuò)誤！未找到引用源。在錯(cuò)誤！未找到引用源。Tii=1解：易求Sn=Tn=（其中n為正整數(shù)）nn432nan=n13180。2232。2232。11*(k179。+1n+2+...+kn+11(k179。2**（2）當(dāng)n2且n206。i=1ai(ai1)(21)+（121121)+（121121)+L+（12n11121n)=3121n：ai(ai1)=ii(21)=i122+i122i122+i163。(x)0，即y=f(x)是單調(diào)遞減函數(shù)．所以f39。a11238。248。n+1232。 n+1248。232。247。2230。1+x證明x第四篇：放縮法證明數(shù)列不等式經(jīng)典例題放縮法證明數(shù)列不等式主要放縮技能： =2= nn+1n(n+1)nn(n1)n1n114411===2()22n4n1(2n+1)(2n1)2n12n+1n242.=== ===2)= ====== ==(21)2(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)+22(n+1)n11== n(n+1)2n+1n(n+1)2n+1n2n(n+1)2n+1x2x+n*c=(n206。（1）求an；（2++L2 {an}中，已知a1=2,an+1an=2anan+1；（1）求an；（2）證明：a1(a11)+a2(a21)+a3(a31)+L+an(an1)32n+{an}滿(mǎn)足：a1=2,an+1=； n(n+)an+225112n（1）設(shè)bn=，求bn；（2）記=，求證：163。N*)２．等比數(shù)列的和：an=kN*)22n(n+1)n(n+3)p1a1252。3+13180。N*)+11132+52+......+(2n1)2321115：1+2+2+......+235(2n1)4常見(jiàn)的放縮技巧總結(jié)：