【正文】 L+1n211n163。112232。+231。+12+n163。232。230。n2nn+n248。n2[7]n(n+1)2=n12+23+L+n(n+1)(n+1)22,(n206。2246。1+231。249。232。2+2+L+2++231。2n+12n12n ,n=1,2,L2n249。2248。2時, f162。 231。n1246。2248。|f(x)f(y)|max1219。13121；再由a163。p,求證：1sina2+1sin2b179。232。2Qlg2lg4231。(n+1)1+2+L+n= aba+ma+m,a,b,m206。a1+a2+L+ann,ai206。：Q12Lnn2221+2+L+nn1622，而12+22+L+n2= 故n1222Lnn 即(n!)2234。1231。2248。1247。1246。11246。222232。21+a3163。12證明：由an+1=an2nan+1,得：an+1=an(ann)+1, Qann179。適當(dāng)Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent： Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract: This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification on the basis of this, it sums up some monly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three do much help to demonstrating words: inequality。f(|a|+|b|)，即|a+b|1+|a+b|163。b∈R，求證x1+xa+b1+a+b163。bc，求證1ab+1bc+1ca0。3都有f(n)nn+1。例n(n+1)25.an已知(n+1)2n206。3證明：由題設(shè)得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜、b、c不全為零，求證：a2+ab+b2+b2+bc+c2+c2+ac+a2＞3（a+b+c）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。，b為不相等的兩正數(shù)，且a3－b3＝a2－b2，求證1＜a＋b＜4。證明：因為=＜n+n13=2（nn1），則1+++＜1+2（21）+2（2）+?+2（nn1）=2n1＜2n，證畢。N*且n179。對于不等式的某個部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。x2，所以f(a+b)163。技巧。n+2(n=1,2,3,L),求證：11+a1+11+a2+11+a3+L+11+an163。11+a111+a1, 163。1++2+L+n1247。N).*證明：Q1(2k+1)219+125(2k+1)211=14k(k+1)=1230。230。231。232。1246。(n+1)(2n+1)249。(n+1)n?均值不等式： a1a2Lan163。3+L+n180。lg9246。248。[5] 已知a,b為整數(shù),并且a+b163。1f(n+1)f(n)==213n+2+13n+3+3n+41n+13(n+1)(3n+2)(3n+4)0.\f(n+1)f(n)，f(n)是增函數(shù),其最小值為f(1),f(n)min=f(1)=12+13+14=1312，淺談用放縮法證明不等式 8 故對一切自然數(shù),f(n)179。R，1a|f(x)f(y)|1219。[,2],Tn是{an}的前n247。:令f(t)=1230。+n+1247。(t)0；當(dāng)1t163。232。2n+即an163。234。2248。1246。2248。n =2234。235。n1230。n 綜合法對于比較復(fù)雜的不等式證明,(1985年高考題)證明：Qn(n+1)179。1) a+247。246。2n+n2248。+lnann2248。11246。1n247。N,證明122+132+L+1n2163。4) +13!+12 則左邊1+23717 =n2412342!+1233+L+123n2 限制放縮的項和次數(shù)若對不等式中的每一項都進(jìn)行放縮,很可能造成放得過大或縮得太小,若限制放縮淺談用放縮法證明不等式 14 的項,保留一些特定項不變,可以通過這樣來調(diào)整放縮的“度”,逼近欲證明的目標(biāo), 求證112+122+L+1n261361n(n179。11246。+L+231。1n74741n：112+122+L+1n2+122+132+13180。a2248。+L+231。232。21an+11a2當(dāng)n為奇數(shù)時,因為1a11a21an1a10,則：++L++L1an+1an+1246。231。247。n+L+43n+1+434+436=12+1314++1230。不等式是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效工具，在高考試題中不等式的考查是熱點難點。⒉利用函數(shù)的單調(diào)性［例2］ 求證：對于一切大于1的自然數(shù)n，恒有。又∵所以∴，∴=7。若用裂項法進(jìn)行數(shù)列求和放縮就簡單 ⒏利用二項式定理展開［例8］已知數(shù)列滿足(n∈N*),是的前n項的和，并且．（1）求數(shù)列的前項的和；（2）證明：≤．（3）求證： 解：(1)由題意得兩式相減得所以再相加所以數(shù)列是等差數(shù)列．又又所以數(shù)列的前項的和為．而≤.（3）證明：點評：這是一道很有研究價值的用放縮法證明不等式的典例。(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá)。注意：用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導(dǎo)致解決失敗。解題需要豐富的知識，更需要自信心。2，放縮時常使用的方法：①舍去或加上一些項，即多項式加上一些正的值，多項式的值變大，或多項式減上一些正的值，多項式的值變小。a1+a+b1+b本節(jié)小結(jié)：