【正文】 G O t b u u G O t? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?. 繼而得： +2 222+21 1 1()+2 2 2m m md u u udt? ????? ??? ? ? ? ? +20 +2( ) ( ( ) , + ( ) =0t m m mg t u u d a x u ????? ? ? ??. 通過計算得： 0( ) ( ( ) , )t mmg t u u d?? ? ? ?? 00( ) ( ( ) ) ( )ttm m m m mg t u u u dx d g t u u dx d?? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2211( ) ( ) ( )22 m m mddg t u u dx d g t u dx ddt dt??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2200( ) ( ) ( ) ( )ttm m m md g t u u dx d g t u u dx ddt ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 22( ) ( )ddg t u dx d g t u dxdt dt? ? ? ? ?? ? ? ? 2201 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( )2 2 2 2tm m m mg u t g u t g k dk u g t udt dt?? ? ? ? ? ? ??. 記作符號：20( ) ( ) ( ) ( ) ( )t mmg u t g t u u t dx d?? ? ? ? ???, 則聯(lián)系上面的計算可得： +2 220+21 1 1 1( ( 1 ( ) ( ) ( ) )+2 2 2 2tm m m md u g k dk u u g u tdt ? ?????? ? ? ? ? ??? +2 22+2 11a ( x) = ( ) ( ) ( )22m m mu g u t g t u????? ? ? ?. 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 10 在（ 0， t)區(qū)間上積分，并且運用假設(shè)條件，該式可化為： +2 220+21 1 1 1( 1 ( ) ) ( ) ( )+2 2 2 2tm m m mu g k dk u u g u t? ???????? ? ? ? ? ??? +210 +2a(x) Pt mu??????, 由于 ? ? ? ?00t g k dk g k dk???? ? ? ? ?00t g k dk g k dk?? ? ? ??? ? ? ? ?11t g k dk g k dk?? ? ?, 又由? ?0 g k dk L?? ? ??, ? ? ? ?001 1 0t g k dk g k dk L?? ? ? ? ???. 因此， 1P 是與100Hu及101Hu有關(guān)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計： +2 222+2 ( ) ( ) Pm m m mu u u g u t? ??? ??? ? ? ? ? ? ?, 在此， 2P 是與100Hu，101Hu及 L 有關(guān)的正常數(shù) . 從而有下列結(jié)果：? ?? ?? ?? ?12001000 ( )0mmu L t H Lu L t H???? ? ? ??? ? ???在 ， ； 中 一 致 有 界在 ， ； 中 一 致 有 界 現(xiàn)在驗證估計二 . 方程兩邊分別乘以()kmOt??，并且關(guān)于 k 求和，得到： ? ? 01 1 1( ,G ) ( ) + , ( ) ( ) ( ( ) , ) ( )m m mtm m k k m m k k m m k k mk k ku u O t u G O t g t u G O t d?? ? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ?? ? ?? 11( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0mmm m k k m m m k k mkka x u u G O t b u u G O t? ???? ? ?? ??? ? ???. 可化為： ? ? 0, , ( ) ( ( ) , ) ( ) ( , )tm m m m m m m m m mu u u u u g t u u a x u u u????? ?? ?? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ( , ) 0m m mb u u u? ????. 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 11 通過計算可得： 2,m m m m mu u u u u dx?????? ?? ?? ? ??????? ?, ? ? 222 21, 4m m m mu u u u???? ??? ? ? ? ? ?, ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0022022 2002220 22,141410, 0 ,4ttmmtmmttmmtmmg t u u d g t u u dx du g t u d dxu g k dk g t u dx dLgu u d??????????? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ????? ? ? ? ?? ? ???? ? ?? 20 1( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2m m m m m m m m m mda x u u u a u u u u u u udt? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?, 22( , ) ( , ) ( )m m m m m m m mb u u u b u u u dx u u?? ? ? ???? ?? ??? ? ? ? ??. 計算得： ? ? ? ?? ?2 + 2+201+2( , ) , ( , )m m mtm m m m m m mdu u dx udtu u dx g t u u d b u u u???????? ?? ????? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?2 2 + 2+2 22 013 +2101( ( ) ) .44m m m mtmm du u dx u udtLgu u d?? ????? ? ?? ?? ?? ? ??? ? ? ? ?? ? 在（ 0， t)區(qū)間上積分，并且運用假設(shè)條件，該式可化為： 2 2 + 2300 +213 +2ttm m m mu u dx dk u d u P?? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?, 因此， 3P 是及101Hu有關(guān)聯(lián)的正常數(shù)，并由上述式子可得第一估計： 2 2 + 24+2m m m mu u dx dk u d u P?? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?, 在此， 4P 是與100Hu，101Hu及(0)g有關(guān)聯(lián)的正常數(shù) . ? ?? ?120xx ( )m L t H L???? ? ? ?在 ， ； 中 一 致 有 界. 綜上所述，根據(jù)以上方程解得，mu存在子列mu，使得： 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 12 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?12001002 1 200, 0 , 。lu u L t L?????? ?? ?在 中． 利用 Aubin 引理得： 相當(dāng)于 ? ? ? ?120 1 0 0 1= = 2 B = B = LP P H ??， ， ? ?? ?220, 0 , 。 上幾乎處處收斂在因此 Tuuxauuxa mm ??? ?? 下面驗證初值，已知 ? ? ? ? ? ?1000lu u inH???? ? 在 ? ?10H? 中， ? ? 00uu? ， ? ?00,Lt? 中， ? ? ? ?,ltuu??????? 且在 ? ?00,Lt? 中 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22, , , ,l l lddu u u u tdt dt? ? ? ??????? ????， 其中 ??,?? 表示 ? ?10H? ? 與 ? ?10H? 的對偶積．注意到 ? ? ? ?2u t L? ??，上式可寫為 ? ? ? ?, , .ld uudt ????????因此可知 ? ?? ? ? ?? ?0 , 0 ,luu????? 又 ? ?? ? ? ?10 , ,luu??? ，故對任意 l 有 ? ?? ? ? ?10 , ,duudt??? ?． 因此在 ? ?2L? 中， ? ? ? ?1,0u x u x? ? ． 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 13 能量的一致衰減性 在本文中，我們將證明此方程的解以指數(shù)形式衰減的定理 . 設(shè) u 是方程的解， 由此可定義廣義能量方程 ()Et 滿足 0( ) e ktE t K t t? ? ?， ， 其中 ()Et 為： +2 22+2 01 1 1 1( ) = ( 1 ( ) ) ( ) ( )+2 2 2 2ttE t u g k dk u g u t u? ????? ??? ? ? ? ? ? ??, 其中20( ) ( ) ( ) ( ) ( )t ttg u t g t u u t dx d?? ? ???. 并由此可知， + 2 211( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) )22tt a x u dx g u t g t u????? ? ??（ +2 1 ( ) + ( ) ( )2ta x u dx g u t?? ????. 引入兩個泛函數(shù)， 1( )= +1 ttA t u u udx????, 0( ) = ( ) ( ) ( ( ) ( ) )+1tttt uuB t u g t u t u d dx??? ? ? ???, 并且設(shè)： ( ) : ( ) ( ) ( )Z t M E t A t B t?? ? ?. 其中 M 和 ? 是未知的正整數(shù) . 本文先證明下述引理，由此說明泛函數(shù) ()Zt 和廣義能量 ()Et 在下述問題的意義中是等價的 . 引理： 設(shè) u是上述方程得到的解，則存在兩個正的常數(shù)項 ,ab，使得其滿足下述不等式： ? ? ? ? ? ?t Z t EaE bt?? . 證 由 ()At 的定義 1( )= +1 ttA t u u udx???? 運用 Young 不等式，得到： 一類非線性粘彈性方程解的整體存在性 14 + 2 + 222 2+ 2 + 21 1 1 1 1+++2 +2 2 +2 2t t t t pu u udx u u u N u???? ? ?? ? ? ?? 由 ()Bt 的定義， 0( ) = ( ) ( ) ( ( ) ( ) )+1tttt uuB t u g t u t u dx??? ? ? ??? 運用 Young 不等式，易得： 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )+1tttt uuu g t u t u dx??? ? ? ? ??? 2+222 +2 001 1 1+ + ( ) ( ) ( ) ( )2 +2 2ttttu u g d g t u t u dx d??? ?? ? ?? ? ? +22 22+21 1 1+ + ( ) ( )2 +2 2t t pku u N g u t?????? 運用上述的公式 ，將 M 選取適當(dāng)大的數(shù)，將 ? 選取適當(dāng)小的數(shù)，則一定會存在符合方程兩邊要求的 a 和 b . 我們?yōu)榱俗C明 ??Et的衰減性，只需要將 ??Zt證明出其滿足指數(shù)衰