【正文】 k =3,所以 1 2 31 2 36 ( 3 ) p p pp p pV a a a? ?11222211111)(1)(1)(1???nnnnnnnabababababab??????（ Vandermonde 行列式） 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 9 上式右端 的 行列式是以新元素112211 ,??nnababab ? 為列元素的 1?n 階 Vandermonde行列式，所以 ： 1?nD = nnnn aaa ?21 ??? ? ??? nfff ? 進而 有 0)(,0)(,0)( )1(139。 ???? ?61 )(ij ji aa 計算特殊的行列式 Vandermonde 行列式在 行列式計算 中的應(yīng)用 ，除了應(yīng)用其 推廣的性質(zhì)定理 來 計算各階準(zhǔn) Vandermonde 行列式 之外，還可以用以下一些方法來計算某些類似 Vandermonde 行列式 的 特殊的行列式 . （ 1）法一 : 所給行列式各行（列）都是某元素的不同方冪，但其方冪 次數(shù)或其排列與 Vandermonde 行列式不完全相同，需 利用行列 的 性質(zhì)（如提取公因式，寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 8 調(diào)換各行（列）的次序等）將 其 化為 Vandermonde 行列式 [7]. 例 2 計算 n 階行列式 nnnnnnD??????22 222111? 解 nD1212122211111!???nnnnnn??????? )1()13)(12(! ???? nn ?1212, ... ... nknk p p pp p p x x x ??? 13 ??? nn xA ? )()(...)()()(...)(...............1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 3 各列提公因式得： nV ? 2 1 1 1 1( ) ... ( ) ( )nna a a a a a?? ? ? ))(()( 2223 xxxxxx n ??? ? 1212, ... ... nknk p p pp p p x x x ??? )!2( ?n ?????????????????????????????0 00 10??nkkk的 兩端 ，得： 0210 ????? nkkkk ?，所以 nxxx ?, , ,1 2 線性無關(guān) . 故 C[a,b]是 R 上的 向量空間 ，且是 R 上的無限維向量空間 . 例 11 設(shè) 0dim ?? nVF （即 V 的維數(shù)為 n）， 存在集合 VS? ， 使 S 含無窮多個向量，且 S 中任意 n 個不同的向量都是 V 的一個基 . 證 明 設(shè) n??? , , , 21 ? 是 V 的一個基， 令 ? ?FkkkkS nn ?????? ? |13221 ???? ?， nnk kkk ????? 13221 ?????? ?，讓 nkk , , , 21 ? 互不相同， 則 ?????????????????????? 11211222212121 1 1 1), , , (), , , (21nnnnnnnkkkkkkkkkkkkn????????? ?????? 由于?????????????????????? 112112222121 1 1 1nnnnnnkkkkkkkkkT???????， 其行列式是 Vandermonde 行列式， 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 15 即 0)(de t1 ???? ? ??? nij ji kkTT， 故 ), , , (21 nkkk ??? ?線性無關(guān)，是 V 的一個基 ，且S 中含無窮多個向量 . 當(dāng)然， Vandermonde 行列式 與 Cramer 法則相結(jié)合的應(yīng)用遠(yuǎn)不僅此，二者還可用于求缺項 )11( ??? nkx k 的多項式的表達(dá)式、 Lagrange 插值公式的推導(dǎo)等， 還可與泰勒公式相結(jié)合來證明有關(guān) 高階微積分的問題 ， 因所需的專業(yè) 知識較深、綜合性較強、推導(dǎo)計算等過程較復(fù)雜，這里不作研究 . 5 小 結(jié) 以上我們在回顧行列式相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進一步 比較系統(tǒng)地 闡述了Vandermonde 行列式 的一些重要性 質(zhì)與 其在行列式計算、多項式、向量空間中的 基本 應(yīng)用等知識， 使得我們對 vandermonde 行列式進一步加深了解與應(yīng)用 .在本文的撰寫中，我通過查閱大量文獻，在各代數(shù)學(xué)家研 究的理論基礎(chǔ)上選擇并 總結(jié) 了 適 合大 學(xué) 生 學(xué)習(xí) 與 應(yīng) 用的 部 分 ，通 過 舉 例 向大家 具體 呈現(xiàn) 了Vandermonde 行列式 的應(yīng)用方法， 同時 開闊 了 自己 的 數(shù)學(xué)視野 ， 培養(yǎng) 了 發(fā)散思維能力 與科研素養(yǎng) ，為今后 繼續(xù) 對 行列式及 vandermonde 行列式更深層次、更復(fù)雜層次的相關(guān)研究做鋪墊 .對于第一次論文的撰寫，難免有紕漏，望老師 提出寶貴的意見， 以便更好地 為我們的 學(xué)習(xí)、 科研和 生活服務(wù) . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 16 參考文獻 [1] 張賢科，許甫華 .高等代數(shù) [M].北京 :清華大學(xué)出版社 ,1998 年 4 月 :102. [2] 王萼芳，石生明 .高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 .20xx 年 6 月 :7981. [3] 李師正 .高等代數(shù)解題方法與技巧 [M].北京 :高等教育出版社 .20xx 年 7 月 :9596. [4] 張禾瑞，郝炳新 . 高等代數(shù) [M].北京 :高等教育出版社 .1999 年 5 月 :119120. [5] 黃玉蟬 .多項式、線性方程組及 Vandermonde 行列式的相互應(yīng)用 [J].濟南大學(xué)學(xué)報 .1994(2):46. [6] 劉建中 .范德蒙德行列式的一個性質(zhì)的證明及其應(yīng)用 [J].河北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(4):810. [7] 袁旭華，楊海文，趙耀峰 .幾種類 Vandermonde 行列式的計算 [J].延安大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(1):79. [8] 王新長 .Vandermonde 行列式在 高等代數(shù)中的應(yīng)用 [J].井岡山師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版） .20xx(3):35. [9] 宴林 .范德蒙行列式的應(yīng)用 [J].文山師范高等專科學(xué)校學(xué)報 .20xx(2):1013. 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè) 論文 17 謝辭 在論文的選題及撰寫過程中得到 我的指導(dǎo)教師 的悉心指導(dǎo) ， 在此表示 衷心的感謝！李老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度使我受益匪淺，在論文寫作的這段時間里 ,她時刻關(guān)心著我的論文完成情況 ,并時常給我指出論文中的缺點和需要改進的地方 ,并指導(dǎo)我如何查找資料，使得我最后順利完成論文 .同時感謝其他所有幫助過我的老師、同學(xué)以及一起努力過的朋友 .