【正文】 其正則方程如下： 式中 是系數(shù) 和 的函數(shù)，前 q+1 個(gè)方程是高度非線性的。 因此，可以利用輸出序列 估計(jì)自相關(guān)序列 并按 MA(q)模型譜估計(jì)公式來得到 MA 譜，即 ，得到 MA 譜估計(jì) 后，利用下 式即可求得 ARMA 譜估計(jì) (410) 小結(jié) 參數(shù)模型譜估計(jì)方法是現(xiàn)代譜估計(jì)的重要內(nèi)容， AR模型譜估計(jì)隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長度可能超過給定的長度，分辨率不受信源信號長度的限制，所以現(xiàn)代譜估計(jì)研究主要是用于基于 AR 模型的方法估計(jì)功率譜，這是經(jīng)典譜估計(jì)無法做到的。%產(chǎn)生含有噪聲的序列 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。n=0:1/Fs:1。 nfft=1024。window=boxcar(length(n))。 功率譜估計(jì)是信息學(xué)科中的研究熱點(diǎn)。因而，也就不能得到 AR 部分系數(shù)的準(zhǔn)確估計(jì)。 4 .AR 譜的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 嚴(yán)格的分析 AR 譜的方法比較困難，目前尚未有一個(gè)解析表達(dá)式。 Marple于 1980 年提出實(shí)現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計(jì)的性能。用自相關(guān)法進(jìn)行功率譜估計(jì)，但估計(jì)時(shí)令前向預(yù)測誤差功率最小，即對 前后都加窗構(gòu)成， Wiener— Hopf 方程系數(shù)為 Toepli tz 矩陣，使用 Levinson— Durbin 算法可方便快速的求解 AR 系數(shù)。 假定 u(n)、 x(n)都是平穩(wěn)的隨機(jī)信號， u(n)為白噪聲，方差為 ，現(xiàn)在，我們希望建立 AR 模型的參數(shù) ak和 x(n)的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也即 AR 模型的正則方程。若 )(nx 是確定性的，那么 是一個(gè)沖激序列，若 )(nx 是隨機(jī)序列，那么 應(yīng)是一個(gè)白噪聲序列。分辨率低的原因，對周期圖法是假定了數(shù)據(jù)窗以外的數(shù)據(jù)全為零，對自相關(guān)法是假定了在延遲窗以外的自相關(guān)函數(shù)全為零。 （ 3）對于長記錄數(shù)據(jù)，是一種良好的實(shí)用模型。 BT 法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法。 因?yàn)??? ?? 2/1 2/1 )()()](?[ ??? dPfWfPE xxBA V P E R，所以方差將減少 K 倍。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。 周期圖法改進(jìn)措施 加窗周期圖 周期圖法只用了 N個(gè)樣本，這可以看作是用一長度為 N 的矩形窗函數(shù)與原來無限長的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。 周期圖譜估計(jì)定義為： 210 )2e x p ()(1)(? ??? ??NnPER fnjnxNfP ? 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或 )](?[ fPE PER ????? ??1)1( )2e x p ()(?)(? NNk xxP ER fkjkrfP ? 其中 )(? krxx 是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為 : ???? ??kNnxx knxnxNkr10 )()(1)(? 周期圖的性能 周期圖的期望值是 : ?)](?[ fPE PER ? ?? ?? 2/1 2/1 )()()}()({ ??? dPfWkrkw xxBxxB （ 317） 式中 )(fWB 是 Bartlett 窗（三角形窗）的傅里葉變換。 方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性（或遍歷性），可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即 南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ???? ???10 )()(1)(? kNnxx nxknxkNkr (311) ])()([1)](?[ 10???? ???kNnxx nxknxEkNkrE (312) ? ?? ? ??? 10 )()(1 kN n xxxx krkrkN 當(dāng) ??N 時(shí)， 0)}(?var{ ?krxx ，因此 )(? krxx 是相關(guān)函數(shù) )(krxx 的無偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng) k 為有限值時(shí)， )(? krxx 是 )(krxx 的一致估計(jì)。所以 222/12/1 )()( xfjxxxx dfekrfP ?? ?? ??? ， 這表明它在各頻率上是完全平坦的。 自相關(guān)函數(shù)（ ACF）和互相關(guān)函數(shù)（ CCF）的 z變換定義為： (33) ????????kkxyxy zkrzP )()( (34) 若令 ff,2??? 為歸一化頻率，頻率區(qū)間 2121 ??? f 為基本周期。 譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 若 ?? xx mnm )( 常數(shù)， 即 ，則稱 )}({ nx 為廣義平穩(wěn)序列。根據(jù)大數(shù)定律，無論總體 X服從納什分布，只要其 k 階原點(diǎn)矩 uk = E(Xk) 存在。無偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無系統(tǒng)偏差，估計(jì)量是否無偏是評價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)， E? ≠ θ，但是有l(wèi)imn→∞E? ≠ θ,則稱 ?是 θ的漸進(jìn)無偏量估計(jì)。 Sx(ω) = limT→∞ 12T E ,| Fx(ω,T)|2 (29) 為 X（ t）的功率譜密度，簡稱譜密度。隨機(jī)過程在某一時(shí)刻 t1的均值 (一階矩 )可將總體中 樣本函數(shù)在 t1的瞬時(shí)值相加，然后除以樣本函數(shù)的個(gè)數(shù)而得到 。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及方差與 t 無關(guān)，它 的自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔 tlt2=τ有關(guān) 。統(tǒng)個(gè)「若 X 為離散型隨機(jī)變量，則上述的求均值運(yùn)算將有積分改為求和。例如某地區(qū)某年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，某藥治療某病病人的有效數(shù)、無效數(shù)等。同時(shí)論文將通過 對經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)方法及仿真圖的比較，得出 經(jīng)典功率譜估計(jì)方法的方差性較差，分辨率較低， 而 現(xiàn)代譜估計(jì)的目標(biāo)正是在于努力改善譜估計(jì)的分辨率， 因此能得到較好的譜估計(jì)效果。 Yule的 工 作使人們重新想起了早在 1795年 Prony提出的指數(shù)擬介法，從 而 Prony 方法形成了現(xiàn)代 譜 估計(jì)的又一重要內(nèi)容。 功率 譜 估計(jì) (PSD)是用有限長的數(shù)據(jù)來估計(jì)信號的功率 譜 ， 它對于 認(rèn)識一個(gè) 隨機(jī)信號或其他 應(yīng)用方而來 講 都是極其重要的，是數(shù)字信號處理的重要研究內(nèi) 容之一，在軍事、生物醫(yī)學(xué)、通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用 。 本論文研究了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法，并給出仿真程序及仿真圖。 關(guān)鍵字 ：數(shù)字信號處理；功率譜估計(jì)；周期圖法；自相關(guān)法。在 19世紀(jì)末， Schuster 提出傅里葉系數(shù)的平方，并命名為周期圖，這是經(jīng)典 譜 估卞卜的最早提出法，至今仍被人們沿用。所有這些都為現(xiàn)代 估計(jì)譜的發(fā)展打下 了良好的 基礎(chǔ)。 隨機(jī)變量在不同的條件 下由于 偶然因素影響，其可能取各種不同的值，具有 不確定性和隨機(jī)性，但這些取值落在某個(gè)范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨 機(jī) 變量。 設(shè) x 是隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)、事件 {Xx}的概率 P(Xx)稱為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)。 在某些實(shí)際問題中，往往需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以 __L 的隨機(jī)變量米描述試驗(yàn)的結(jié)果。 (3)自相關(guān)函數(shù)與信號時(shí)間的起始點(diǎn)無關(guān)，只和時(shí)間差有關(guān) (寬平穩(wěn)信 號的方差和均方也是與時(shí)間無關(guān)的 )。 (2)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程 (廣義平穩(wěn) ): 若 X（ t)的數(shù)學(xué)期望 E[X(t)]=ax為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù) Rx(t1,t2) = Rx(τ).只與t1 ? t2 = τ:有關(guān)，則稱 X (t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。 (4)當(dāng)隨機(jī)信號中含有周期信號時(shí) ,Rx(τ)中也必定有周期性分量，且周期 相同。 機(jī) 序列的功率 譜 隨機(jī)序列 X（ n),已的相關(guān)函數(shù) Rx(m)滿足其功率 譜 密度 sx(m)其有如卜式 了： Sx(ω)= ∑ Rx(m)e?jwm+∞m→∞ (213) Rx(τ)= 12π ∫ Sx(ω)∞?∞ e?jwxdω (214) 估計(jì)質(zhì)量的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 對 于 待估參數(shù)，不同的樣本值就會得到不同的估計(jì)值，這樣，要確定一個(gè)估 計(jì)量的好壞，就不能僅僅依據(jù)某次 抽 樣的結(jié)果來衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果 來衡量，對此，一個(gè)自然而基本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無系統(tǒng)偏差。在 θ的所有無偏估計(jì)量中， 如 果存在 個(gè)估計(jì)量 ?,它 的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量 θ0為 ?的最 小方差無偏估計(jì)，也稱其為最有效的 . 估計(jì)量 ?的無偏性和有效性都是在樣本容量 n固 定的情況卜討論的。特別地， μ = X總是 μ = Exu = Ex的相合估計(jì)，樣本方差 S2和樣本的二階中心矩又 S2都是總 體方差 δ2的相合估計(jì) s和 s又都是 ?的相合估計(jì)。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些基本性質(zhì)，主要有： 當(dāng) )}({ nx 為復(fù)序列時(shí)， )(*)( krkr xxxx ?? ；若 )}({ nx 為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即 )()( krkr xxxx ?? 。它的自相關(guān)函數(shù)為： )(kryy )()()( * krkhkh xx???? (37) ?????? ?? k kxxxx zkrzP )()(南京郵電大學(xué) 通達(dá)學(xué)院 20xx 屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） )()*1(*)()( zPzHzHzP xxyy ? (38) 若 )(nh 為實(shí)系統(tǒng)，則 )1()*1(* zHzH ? 。 ????? ???MMn xM nxEnxM ?)}({)(121lim 。 當(dāng) ??N 時(shí)， 0)}(?var{ ?krxx ，即（ 31）式的 )(? krxx 也是 )(krxx 的一致估計(jì)。 )()](?[lim fPfPExxP E RN ???這是由于 )(fWB 收斂到狄拉克 ? 函數(shù)。這種所謂信號能量（向旁瓣）泄漏現(xiàn)象如果不設(shè)法消除，也將妨礙周期圖譜估計(jì)法的應(yīng)用。 平均周期圖 平均周期圖的思想：對一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)行觀測，得到 L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將 L個(gè)均值加起來求平均。但有時(shí)為了減小方差，應(yīng)該把 LNK /? 選得大一些，或等效地把 L取得小一些。 經(jīng)典功率譜估計(jì)的小結(jié) 根據(jù)相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù)之間為傅立葉變換對的維納 欣欽關(guān)系，可從相關(guān)函數(shù)估計(jì)值經(jīng)傅立葉變換后得到功率譜的估計(jì)值。矩形窗的頻譜主瓣不是無限窄的，且有旁瓣存在，這將導(dǎo)致能量向旁瓣中“泄漏 ”，主瓣變得模糊不清。參數(shù)模型法是現(xiàn)代譜估計(jì)的主要內(nèi)容， 它的 參數(shù)模型法的思路如下： （ 1）假定所研究的過程 )(nx 是由一個(gè)輸入序列 激勵一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出。不難想象， AR 模型易于反映譜中的峰值，而 MA 模型易于反映譜中的谷值。 AR 模型參數(shù)求解的典型算法 用線性方程組的常用解法 (例如高斯消元法 )解 Yule— Walker 方程，需要的運(yùn)算量數(shù)量級為 ，但若利用系數(shù)矩陣的對稱性和 Toeplitz 性質(zhì)，則可構(gòu)成一些高效算法， Levinson— Durbin 算法是其中最著名、應(yīng)用最廣泛的一種，這種算法的運(yùn)算量數(shù)量級為 2p 。用 Burg 算法進(jìn)行功率譜估計(jì)時(shí)令前后向預(yù)測誤差功率之和最小，即對 、 前后都不加窗，使用 Levinson— Durbin 遞推可快速的求解AR 系數(shù)。 2 .AR 譜的分辨率 AR譜估計(jì)的頻率分辨率，要優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)方法。 因?yàn)? 對 MA(q)模型，由式 (2) 式得 。因此 p 和 q的不 正確指定有可能導(dǎo)致自相關(guān)陣出現(xiàn)奇異。程序如下： clear。 周期圖法仿真圖 以下是利用 matlab 對平均周期圖法進(jìn)行仿真，并得到仿真