【正文】 x(0) ≥ | Rxx(?τ)| Cxx(0) = |Cxx(?τ)| (4)若 X(t)=X(t+T)，則其自相關(guān)數(shù)也是周期為 T,的周期 h 函 數(shù)，即 Rxx(τ)≥ R(t+ τ) Cxx(τ)= Cxx(t+τ) (5)若均 值 mx = 0，當 τ → ∞，時， X (t) 與 X( t+ τ)相 互獨 立，有l(wèi)im|x|→0 Rxx(τ)= 0，對 于 零均值 的 平穩(wěn)隨機信號，當時 時間間 T很大時， X(t)與 X（ t+τ)相互獨立，互不相關(guān)。 當 Sx(ω)是 ω的有理函數(shù)時，其形式必為 Sx(ω)= a2nω2n+a2n?2ω2n ?2+?ω2n+b2n?2ω2n ?2+? (212)其中 a2n， b2m為常數(shù)，且 a2n 0， m ??,分母無實根。一個估計 量如果不是無偏的 就稱它 已是有偏估計量。 定義： 設與 ?2=θ2（ X1,X2,?Xn)都是總體參數(shù) θ的無偏估計，若 D(θ1)≤ D(θ2)，則稱 θ1比 θ2更有 效。 定義：設 ? = ?（ x1,X2 ?） 是總體參數(shù) θ的估計量，如果對任意 ω 0都有l(wèi)imn→∞p|? ?θ|,則稱 ?是 θ的相合估計量（或者一致估計量）。進一步地，可以證明 :只要相應的總體矩存在，矩估計必定是相合估計。 南京郵電大學 通達學院 20xx 屆本科生畢業(yè)設計（論文） 第三章 經(jīng)典功率譜估計 經(jīng)典譜估計方法是以傅里葉變換為基礎的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法（布萊克曼 — 圖基法，簡稱 BT法）。廣義平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 的相關(guān)函數(shù) )(krxx 和它的功率譜密度 )(?xxP 之間是傅立葉變換對的關(guān)系，即 (31) (32) 這一關(guān)系式常稱為維納 —— 辛欽定理。 當 )(nx 為實序列時， )(?xxP 為非負實對稱函數(shù)，即 )()( ?? xxxx PP ?? 和0)( ??xxP 。 當一平穩(wěn)隨機序列 )}({ nx 通過一個脈沖響應為 )(nh 的線性非時變系統(tǒng)時，其輸出序列 )}({ ny 也是一平穩(wěn)隨機序列。 我們經(jīng)常會遇到的一種過程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)（ ACF）定義為： )()( 2 kkr xxx ??? ，其中 )(k? 是離散沖激函數(shù)。 相關(guān)函數(shù)的估計 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說來，嚴格各態(tài)歷經(jīng)過程允許我們用時間平均來代替系綜平均（集合平均或統(tǒng)計平均），用時間平均作為廣義平穩(wěn)隨機過程均值的估計。 設 }1,1,0),({ ?? Nnnx ?為實隨機序列 )}({ nx 的一批樣本，共有 N 個值。但是，當 ??N ，估計值是漸近無偏的。 由（ 315）式和由（ 316）式維納一辛欽定理給出的 PSD 的等效定義將作為經(jīng)典譜估計方法的基礎。因此對有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當 ??N 時，它是無偏的 。由此可得出一個重要的看法：周期圖估計器是不可靠的，因為標準差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計而其均值近似地等于要估計的量值。此外，如果序列是由多個正弦波信號組成的，而各分量強度不等，則弱信號分量可能淹沒在強信號譜的旁瓣中而無法發(fā)現(xiàn)。顯然它不等于功率譜的真實值，因而是有偏估計。 從以上的分析可知，數(shù)據(jù)加窗用于周期圖譜估計可以降低譜估計值的旁瓣，但要降低譜估計的分辯率，而用數(shù)據(jù)加窗的辦法不能減小估計方差，因而無法降低分辨率。假定在區(qū)間 10 ??? Ln 上有 k 組獨立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機過程的現(xiàn)實。 顯然，為了獲得最大分辨率， L將盡可能選得大一些或就選 1??NL ，此時，平均周期圖就成為標準周期圖估計。自相關(guān)函數(shù)的估計。 直接法和間接法的關(guān)系 由以下式子可以得出： m=kn，則 k=n+m，得 可見周期圖法就是 BT法中 M=N1時的功率譜估計。常用的兩種辦法是相關(guān)函數(shù)加窗和分段平均周期圖法，這兩種辦法都有實用價值，它們都采用了 FFT 算法，使得計算量大大減小。這是因為它們的頻率分辨率約為數(shù)據(jù)長度的倒數(shù)，且與數(shù)據(jù)的特征或其信噪比無關(guān)，而實際應用中一般不可能獲得很長的數(shù)據(jù)記錄； （ 2）經(jīng)典譜估計方法在工程中都是以離散傅立葉變換為基礎的，它隱含著對無限長數(shù)據(jù)序列進行加窗處理（加了一個有限寬的矩形窗）。 南京郵電大學 通達學院 20xx 屆本科生畢業(yè)設計（論文） 第四章 現(xiàn)代譜估計 平穩(wěn)隨機信號的參數(shù)模型 由于 經(jīng)典功率譜估計方法的方差性較差，分辨率較低。 我們已經(jīng)知道了 現(xiàn)代譜估計的基本方法，這些方法技術(shù)的目標在于努力改善譜估計的分辨率。 是一個因果的線性移不變離散時間系統(tǒng)，當然，它應該是穩(wěn)定的，其單位抽樣響應 是確定的。顯然，由于 ARMA 模型是一個零極 點模型，它易于反映功率譜中的峰值和谷值。 )(nu )(zH)(mrx )(zH)(zH)(zH)(nh)(nu)(nu南京郵電大學 通達學院 20xx 屆本科生畢業(yè)設計（論文） AR 模型的正則方程與參數(shù)計算 正則方程的求導 參數(shù)模型法功率譜估計的主要思想是：將廣義平穩(wěn)的過程 x(n)表示成一個輸入序列 u(n)激勵線性系統(tǒng) H(z)的輸出；由已知的 x(n)或其自相關(guān)函數(shù) 來估計 H(z)的參數(shù)；由 H(z)的參數(shù)估計 x(n)的功率譜。上式寫成矩陣形式， 上述兩式即是 AR 模型的正則方程，又稱 YuleWalker 方程。 “前向預測”是利用 n 之前的 P個值對 x(n)性預測，；與之對應的“后向預測”其中 e(n)為為預測誤差， P預測誤差功率， f表示前向預測， b 表示后向預測。 (2))Burg 算法。 (4)改進協(xié)方差算法。 AR 模型譜估計的性質(zhì) 1. AR 譜的平滑特性 AR模型是一有理分式，估計出的譜平滑，不需要像周期圖那樣再做平滑或平均，因此，不需要為此去犧牲分辨率。當均值為 1時， 將在的上下波動，即在有的區(qū)域， ，而在另外的區(qū)域， 。 MA 模型譜估計 給出 MA(q)模型的三個方程 (47) 將上式兩邊同乘以 ，并求均值，得 2)()()(???jjejx eA ePeP ?2m in)()( ???jjAR eAeP ?)(zA)( ?jAReP )( ?jx eP )( ?jAReP)( ?jx eP )( ?jAReP )( ?jx eP )( ?jAReP)( ?jx eP 1)( )(21 ??? ?? ?? ?? deP eP jARjx)( ?jAReP )( ?jx eP?? ??? qk k knwbnwnx 1 )()()(?? ???? qk kk zbzBzH 11)()(212 1)( ????? qkkjkjx ebeP ?? ?)()()( 1 kmnwbmnwmnx qk k ?????? ??)(nx南京郵電大學 通達學院 20xx 屆本科生畢業(yè)設計（論文） (48) 式中 。類似地，可導出其正則方程如下： 式中 是系數(shù) 和 的函數(shù)，前 q+1 個方程是高度非線性的。 P 實際上是式中自相關(guān)陣的維數(shù)， p和 q決定了 的選用范圍。 因此，可以利用輸出序列 估計自相關(guān)序列 并按 MA(q)模型譜估計公式來得到 MA 譜，即 ，得到 MA 譜估計 后，利用下 式即可求得 ARMA 譜估計 (410) 小結(jié) 參數(shù)模型譜估計方法是現(xiàn)代譜估計的重要內(nèi)容， AR模型譜估計隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長度可能超過給定的長度，分辨率不受信源信號長度的限制，所以現(xiàn)代譜估計研究主要是用于基于 AR 模型的方法估計功率譜，這是經(jīng)典譜估計無法做到的。 ?? ??? pk k knxanxny 1 )(?)()()(?zA )(zB )(ny，)(? mry ??? ??qqmmjyjy emreP ?? )(?)(?)( ?jy eP21?1)(?)(?????? pnkjkjyjA R M AeakePeP???南京郵電大學 通達學院 20xx 屆本科生畢業(yè)設計（論文） 第五章 MATLAB 下的經(jīng)典譜與現(xiàn)代譜估計的仿真 5． 1 基于 MATLAB 經(jīng)典譜估計的仿真 以下是利用 matlab 對周期圖法進行仿真，并得到仿真圖。%產(chǎn)生含有噪聲的序列 xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n))。%直接法 plot(f,10*log10(Pxx))。n=0:1/Fs:1。 %加矩形窗 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0010 。 nfft=1024。程序如下： clear。window=boxcar(length(n))。 Fs=1000。 功率譜估計是信息學科中的研究熱點。 因此，在實際應用中，對自相關(guān)陣采用更一般的形式，即取 L個方程，這里 ，即 ，式中 ， 由此得到 的最小二乘解為 求得ARMA(p,q)模型中的 AR參數(shù)，余下的任務就是求解 MA 部分的參數(shù)。因而，也就不能得到 AR 部分系數(shù)的準確估計。 所以，可以求出 MA(q)模型的正則方程，即有 MA(q)的功率譜為 等效于經(jīng)典譜估計中的自相關(guān)法，即 MA 譜估計等效為信號長度為 q+1 的自相關(guān)法譜估計。 4 .AR 譜的統(tǒng)計性質(zhì) 嚴格的分析 AR 譜的方法比較困難，目前尚未有一個解析表達式。其原因在于求解 AR 模型參數(shù)的過程，實際上意味著將根據(jù) 估計的 按一定準則進行了外推。 Marple于 1980 年提出實現(xiàn)協(xié)方差方程求解的快速算法，大大提高了譜估計的性能。 Burg 算法是建立在數(shù)據(jù)基礎之上的，避免了先計算自相關(guān)函數(shù)從而提高計算速度；是較知為通用的方法，計算不太復雜，且分辨率優(yōu)于自相關(guān)個法，但對于白噪聲加正弦信號有時會出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。用自相關(guān)法進行功率譜估計，但估計時令前向預測誤差功率最小，即對 前后都加窗構(gòu)成， Wiener— Hopf 方程系數(shù)為 Toepli tz 矩陣，使用 Levinson— Durbin 算法可方便快速的求解 AR 系數(shù)。這是一種按階次進行遞推的算法，即首先以 AR(0）和 AR(1)模型參數(shù)作為初始條件，計算 AR(2）模型參數(shù)；然后根據(jù)這些參數(shù)計算 AR(3)模型參數(shù)等，一直到計算出 AR(p)模型參數(shù)為止，當整個迭代計算結(jié)束后，不僅求得了所需要的 P階 AR 模型參數(shù)，而且還得到了所有各低階模型的參數(shù)。 假定 u(n)、 x(n)都是平穩(wěn)的隨機信號， u(n)為白噪聲，方差為 ，現(xiàn)在，我們希望建立 AR 模型的參數(shù) ak和 x(n)的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，也即 AR 模型的正則方程。 AR,MA 和 ARMA 是功率譜估計中最主要的參數(shù)模型。若 )(nx 是確定性的，那么 是一個沖激序列，若 )(nx 是隨機序列，那么 應是一個白噪聲序列。 （ 2）由已知的 )(nx ，或其自相關(guān)函數(shù) 來估計 的參數(shù)。分辨率低的原因，對周期圖法是假定了數(shù)據(jù)窗以外的數(shù)據(jù)全為零，對自相關(guān)法是假定了在延遲窗以外的自相關(guān)函數(shù)全為零。嚴重時，會使主瓣產(chǎn)生很大失真，甚至主瓣中的弱分量被旁瓣中的強泄漏所淹蓋。 （ 3）對于長記錄數(shù)據(jù)，是一種良好的實用模型。從原理上說這種方法是直截了當?shù)?，可是由此得出的譜估計值不僅有偏，而且方差很大，它還不隨數(shù)據(jù)長度