【正文】 遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如 RLS 算法。 ③ RLS 算法在均方意義上的收斂性與輸入向量相關(guān)矩 陣 R 毫無 無關(guān)。同時(shí)還可以看出 ()wn?? 是由 相關(guān)矩陣 R 的最小特征值 min? 所決定的 。為了簡化分析，令加權(quán)因子 ? =1。 11( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )TC n C n g n x n C n????? ? ? ? （ 45） 式中， C(n)稱為逆相關(guān)矩陣； g(n)稱為增益向量。也就是說，這里討論的是如何通過固定階數(shù)的線性橫向?yàn)V波器，利用可變長度的數(shù)據(jù) x(1)， x(2)， ...，x(n)對期望響應(yīng) d(1)， d(2)， ...， d(n)進(jìn)行遞歸最小二乘估計(jì)的問題。 LMS 算法的應(yīng)用 （ 1）系統(tǒng)模擬與辨識；這個(gè)在控制系統(tǒng)是非常重要的；在傳統(tǒng)工程領(lǐng)域之外，模擬是非常有用的，人們研究社會系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)或者生物系統(tǒng)，就采用模擬方法。 exJ 就是度量這種性能損失的一個(gè)參數(shù)。 LMS 算法期望學(xué)習(xí)時(shí)間常數(shù)為： 1()4mse k k? ??? k=0， 1， ...， M1 (342) 此外，由于 LMS 算法和觀測數(shù)據(jù)的梯度估計(jì)，自適應(yīng)時(shí)間常數(shù) mseT 測量數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行測量就是等于相等的數(shù)量的迭代的學(xué)習(xí)曲線的時(shí)間常數(shù) mse? 。39。要知道現(xiàn)在沒有一種 LMS 算法沒有前提條件就能夠證明它能自己收斂。 這樣就可以 可得 LMS 算法的梯度估計(jì)的數(shù)學(xué)期望為： ? ?( ) 2 [ ( ) ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] 2 [ ( ) ]TE J n E e n x n E d n x n x n x n w n R E w n p???? ? ? ? ? ? ? ????? （ 328） 根據(jù)以上可以把 LMS 算法的梯度估計(jì)的數(shù)學(xué)期望簡化為 ： ? ? 0[ ( 1 ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] 2 [ ( ) ] ( 2 ) [ ( ) ] 2E w n E w n E J n E w n RE w n p I R E w n Rw? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 329） 觀察比較 這兩個(gè)式子，可以看出 （ 329）的迭代公式就是 最陡下降法權(quán)向量的迭代關(guān)系。從圖中 可以明顯的看出 ， LMS 算法 是 容易高效實(shí)現(xiàn)。顯然，如果相關(guān)矩陣 R 是非奇異的，則可得橫向?yàn)V波器維納解為 10 Rp? ?? （ 319） LMS 算法 LMS 算法，采用最速下降算法，平均梯度的平方誤差從目前估計(jì)系數(shù)矢量迭代于下一時(shí)刻濾波器系數(shù)向量 ， 而 且如果收斂因子 μ 選擇 適合 [8]，抽頭權(quán) 值 向量 就會無限接近于 維納解 ， 但為了得到一個(gè)準(zhǔn)確的梯度向量必須知道的互相關(guān)矢量的抽頭輸入相關(guān)矩陣和抽頭輸入和預(yù)期的響應(yīng)值的關(guān)系 ， 所以 當(dāng) 是處于時(shí)變的環(huán)境條件下 梯度向量 ()Jn?? 的是 不可能通過測量得到 ， 只能通過 數(shù)據(jù)對梯度向量進(jìn)行 有意義的猜測 。 0()dn? 理論中 最優(yōu)估值。 根據(jù)式（ 36），可得結(jié)論：使均方誤差代價(jià)函數(shù) J 達(dá)到最小值 必須要滿足 其相應(yīng)的估計(jì)誤差 0()en與 估計(jì)期望響應(yīng)的每個(gè)輸入樣本值 x(nk)(k=0， 1， 2， ...)正交 。 圖 31 離散形式維納濾波器問題示意圖 MMSE 準(zhǔn)則作為最優(yōu)準(zhǔn)則。 橫向型 FIR自適應(yīng)濾波器 考慮到是否容易實(shí)現(xiàn)，選擇最簡單的橫向 FIR 濾波器 。 自適應(yīng)濾波器的 構(gòu)成 圖 25 自適應(yīng)濾波器的構(gòu)成單元 如圖 25所示， 自適應(yīng)濾波器是由 可編程濾波器、自適應(yīng)算 法和 性能評估 三大 模塊組成 。 通過分析，由于實(shí)際的通信 系統(tǒng)不可能滿足理論上的 奈奎斯特第一準(zhǔn)則， 也就是波形完全不失真的情況，因?yàn)?傳輸 過去 的脈沖 波形的拖尾在肯定會對下一個(gè)時(shí)刻的脈沖波形造成影響，就是說會影響到相鄰的脈沖波形 ， 這就是 ISI(碼間串?dāng)_ )，它會 使得抽樣判決器產(chǎn)生錯誤的判斷 ， 這樣又增大了脈沖波形輸出錯誤率 。 自適應(yīng)均衡的原 理和特點(diǎn) +信道發(fā)送濾波器 接收濾波器()TG ? ()C ? ()RG ? 抽樣判決器{} na()nt()yt { 39。自適應(yīng)均衡器是一個(gè)跟蹤的信號接收端不同的特性變化的自適應(yīng)算法，然后調(diào)整濾波器的抽頭系數(shù)，消除符號間干擾。 第三章 介紹 LMS 算法 的原理 。 在數(shù)字信號傳輸?shù)淖赃m應(yīng)均衡器是根據(jù)算法不斷調(diào)整的濾波器系數(shù)以便隨時(shí)適應(yīng)變化，從而產(chǎn)生更好的失真補(bǔ)償，致使濾波器始終工作在最佳狀態(tài) 。即 頻域均衡和 時(shí)域均衡 。 要使 均衡信道 不能達(dá)到理想狀態(tài)的 特性 可以得到 很好的 彌補(bǔ) ，從而降低了信號 的失真度 。 信道失真在高速通信，無線通信中會更加嚴(yán)重，從而信道均衡技術(shù)是成為了通信傳輸中不可缺少的。通常 把消除串?dāng)_的濾波器稱為均衡器，它其實(shí)就是一個(gè)逆濾波器通道。而 其中 導(dǎo)致碼間干擾的最主要原因是 由于 多徑傳輸 導(dǎo)致 信道 的 非理想特性。校正信道特性 可以從頻域和時(shí)域兩個(gè)不同的方面考慮。 換句話說，自適應(yīng)系統(tǒng) 解調(diào)輸出的 信號波形 ，是經(jīng)過均衡器 糾 正的結(jié)果 。 第二章 介紹了信道和自適應(yīng)均衡基本理論。 4 第二章 自適應(yīng)均衡器原理及其分類 事實(shí)上，該通信信道的特性是隨時(shí)間變化的時(shí)變函數(shù)，所以由接收機(jī)接收的信號是發(fā)生碼間干擾導(dǎo)致失真的信號。 長時(shí)間下 )(wHc 不發(fā)生改變，就稱為 恒參信道； 不然就是 變參信道。 在碼間串?dāng)_下，如果對 第 k 碼元 ka 的判決， 其實(shí)是 在 0SkT t? 時(shí)刻： 000000 0 0( ) [ ( ) * ( ) ( ) ] | [ ( ) ( ) ] | ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )SSS R t k T tn S R t k T tnn S S R Snk n S R Snky k T t d t h t n ta h t n T n ta h k T t n T n k T ta h t a h k n T t n k T t?????? ? ??? ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? (23） 公式 23 中 0()kaht 是波形采樣值判斷的第一要素，們用它來確定 ka 價(jià)值； 0[( ) ]nSnk a h k n T t? ???是 除了 第 k 碼元以外的其他 有 碼元波形 在 第 k 碼元的抽樣時(shí)刻上的 疊加 ， 這個(gè)就是干擾 ka 的串?dāng)_值 ； ()Rnt是 高斯白噪聲， ()nt通過接收濾波器后輸出的噪聲， 6 0()RSn kT t? 表示第 k 碼元的抽 樣時(shí)刻 那一瞬間 輸出 的 噪聲， 顯然，它就是自由組合的一種干擾 。簡言之，自適應(yīng)算法不僅取決于輸入，同時(shí)還依賴于系統(tǒng)輸出的結(jié)果。 橫向?yàn)V波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu) 其橫向型結(jié)構(gòu)如圖 26所示： 1Z? 1Z? 1Z?()xn( 1)xn ?( 2)xn ?( 1 )x n N??0 ()wn1 ()wn2 ()wn 1 ()Nwn???? ()yn 圖 26 FIR濾波器 的 橫向型結(jié)構(gòu) 該濾波器的輸出 y(n)為： 10( ) ( ) ( )Niiy n w n x n i????? (26) 式中， 為濾波器的階數(shù)為時(shí)間序列，為權(quán)系數(shù)，為輸入信號， Nnnnx )(w)( 。 要求給出最佳規(guī)范約束來實(shí)現(xiàn)最佳的過濾。 將（ 32） 代 入（ 33），得到 ? ?2 () ()2 ( ) 2 ( ) ( )k K k kE e nJ e nJ E e n E x n k e n? ? ???? ??????? ? ? ? ? ? ???? ? ??? k=0， 1， 2， ... (35) 將（ 35）的最后結(jié)果帶入（ 34）中，得到維納濾波器最優(yōu)解的等效形式為 ? ?0( ) ( ) 0E x n k e n?? k=0， 1， 2， ... (36) 式中， 0()en是濾波器 最好的估計(jì)誤差值 。 最小均方誤差 由濾波器估計(jì)誤差定義，可得到維納濾波器的估計(jì)誤差為 000( ) ( ) ( ) ( ) ( )e n d n y n d n d n?? ? ? ? （ 310） 式中?；ハ嚓P(guān)矢量 P 被定義為橫向?yàn)V波器的抽頭的輸入和所需的響應(yīng) ，則 ? ? ? ?( ) ( ) (0 ) , ( 1 ) , . . . , ( 1 )Tp E x n d n p p p M? ? ? ? （ 317） 這可以將橫向?yàn)V波器的 WienerHoff 方程表示為 0Rp?? （ 318） 式中， 0? =? ?0 , 0 0 ,1 0 , 1, , .. .. TM? ? ? ?這里是最佳的 橫向?yàn)V波器的抽頭權(quán) 重 向量。正確的調(diào)整濾波器來測量，你可以得到一個(gè)響應(yīng)信號非常接近預(yù)期的輸出 [10]；讓 輸出與期望響應(yīng) 相相減 得到 “誤差 ”信號， 通過降低誤差信號，就能得到最有權(quán)值 。因此， 要把一個(gè)個(gè)的輸入數(shù)據(jù)認(rèn)為是 是 相互 獨(dú)立的， 也就是說 w(n)與 x(n)獨(dú)立。做這個(gè)假設(shè)也是為了方便分析問題。 對于 一個(gè)已知 向量 w(n)的橫向?yàn)V波器來說， J 的與 迭代次 數(shù) n 之間的關(guān)系函數(shù)有如下 18 形式： 39。 由此表明 ， LMS 算法的期望學(xué)習(xí)曲線在一定條件下與最陡下降法的學(xué)習(xí)曲線的變化 具有相同的 規(guī)律。 現(xiàn)在定義自適應(yīng)過渡過程結(jié)束后的穩(wěn)態(tài)均方誤差的數(shù)學(xué)期望 E[J(n)]與最小均方誤差minJ 之差值為超量均方誤差 exJ ，即： 19 m i n[ ( )]exJ E J n J?? （ 344） 根據(jù)以上可得，在選取 μ 較小時(shí)，可近似為： 1m i n m i n0 []Mex kkJ J J tr R? ? ?????? (345) 由于存在梯度估計(jì)噪聲，自適應(yīng)過程結(jié)束后，權(quán)值仍然在最佳值附近隨機(jī)變動，導(dǎo)致了均方誤差值總是大于最小均方誤差值并在其附近隨機(jī)變化。通常 在 失調(diào)量和收斂速度 多加考慮和權(quán)衡 。數(shù)據(jù)的 長度的范圍 與當(dāng)前觀測時(shí)刻 n 相對應(yīng)， 但是 橫向?yàn)V波器的階數(shù) 是 固不 變的 。采用遞推實(shí)現(xiàn)方法 就解決這一問題，就可以降低 運(yùn)算量。 23 表 41 遞歸最小二乘算法流程 初始化： 1( 0 ) 0 , ( 0 ) ,w C I??? ???為小的正常數(shù) 遞歸計(jì)算： 對每一時(shí)刻計(jì)算 n=1， 2， ... 計(jì)算 11 ( 1 ) ( )() 1 ( ) ( 1 ) ( )TC n x ngn x n C n x n???? ?? ?? ()wn? ? ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]Tw n g n d n x n w n??? ? ? ? 11( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )TC n C n g n x n C n????? ? ? ? RLS 算法的收斂性 本節(jié)討論 穩(wěn)定 環(huán)境下 RLS 算法的收斂性?？梢钥闯觯?RLS 權(quán)向量的均方誤差()wn?? 隨遞推時(shí)刻 n 的增加而線性減小。也就是說 RLS 算 法在純理論依據(jù) 上 是 零失調(diào)。 ② 在 穩(wěn)定不變的 環(huán)境下，當(dāng)?shù)螖?shù) 近似 無限時(shí)， RLS 算法和 LMS 算法所得的權(quán)向量在統(tǒng)計(jì)平均的意義 是相等的 ， 換句話說， LMS 算法就是 RLS 算法。 （ 2） μ= 圖 53 μ= 下的誤差曲線 如圖 53 所示，當(dāng) μ= 時(shí)，觀察誤差曲線，大約需要迭代 200 次才能夠是的 LMS算法收斂，達(dá)到均衡