【正文】 對(duì) 于 最小均方誤差準(zhǔn)則來說，如果采用一般的梯度估計(jì)方法的自適應(yīng)算法 是需要一組數(shù)據(jù)中的平均值的兩個(gè)均方誤差的差 [9]作為梯度估計(jì) ， 而 LMS 算法 不需要這么做，而 是r(0) r(1) ... r(M1) r(1) r(0) ... r(M2) ... ... ... ... r(M1) r(M2) ... r(0) 14 直接 用一次 采樣數(shù)據(jù)的 2()en來 等效為 均方誤差 ()Jn， 然后 進(jìn)行梯度估計(jì)，這 種就 稱為瞬時(shí)梯度估計(jì)。 因此，利用梯度算法估計(jì)方法的收斂性也可以得到期望的權(quán)重向量的收斂。min TJ J w Rw?? (341) 根據(jù) 最陡下降法中 來分析 LMS 算法， 因?yàn)槭褂玫乃矔r(shí)梯度估計(jì)， 使得梯度估計(jì)摻雜噪聲 。 失調(diào) Ц是 另一個(gè)度量自適應(yīng)性能損失的參數(shù) ， 它 越來越普遍的應(yīng)用于工程設(shè)計(jì) 。 這里最小二乘準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)（前加窗法）可表示為： 21( ) ( )n niin e i?????? （ 41） 式中， ? 為加權(quán)因子，其取值為 01???。同時(shí)假設(shè)： ?期望響應(yīng) ()dn與抽頭輸入向量 ()un之間的關(guān)系可用多重線性回歸模型表示 00( ) ( ) ( )Td n w x n e n?? （ 49） 式中， 0 0 , 0 0 ,1 0 , 1[ , , ..., ]TMw w w w ?? 為回歸參數(shù)向量； 0()en是 平均數(shù) 為零 ，方 差為 20? 的白噪聲，與 ()xn 無關(guān)。 RLS 算法的應(yīng)用 （ 1） 自適應(yīng)干擾對(duì)消。同時(shí)，也說明了 μ 是有取值范圍 ，在這個(gè) 范圍 中， μ 決定了收斂速度。（代碼見附錄 1） 圖 51 為仿真結(jié)果： 圖 51 LMS 算法下的自適應(yīng)曲線 如圖 51 所示：其中藍(lán)色曲線代表理想輸入，也就是無干擾的輸入；而黃色曲線是已經(jīng)加入了信噪比為 30dB 高斯白噪聲后的輸入信 號(hào)，由此可見，信號(hào)的碼間干擾十分嚴(yán)重，輸入信號(hào)完全失真變形； 紅色曲線結(jié)果算法在自適應(yīng)濾波器，和理想信號(hào)比較，幾乎沒有錯(cuò)誤； 綠色曲線是誤差曲線，由圖可見，在迭代次數(shù)為 100 時(shí)， LMS 算法下的自適應(yīng)均衡器開始收斂到最優(yōu)解，達(dá)到了均衡作用。 ② 隨著迭代次數(shù) n 越來越大，最后趨于無限時(shí) ，先驗(yàn)估計(jì)誤差 39。 ( ) ( 1 ) ( ) ( )z n z n x n d n?? ? ? （ 47） 最后推導(dǎo)出最下二乘估計(jì)抽頭權(quán)向量的時(shí)間更新的遞推公式：( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]TTw n w n g n x n w n g n d n w n g n d n x n w n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 48） 式中的內(nèi)積 ( 1)Tx wn? ? 是當(dāng)前時(shí)刻 n 的數(shù)據(jù)向量 x(n)利用 n1 時(shí)刻的抽頭權(quán)向量 ( 1)wn? ? 對(duì) 未知的 期望響 應(yīng) d(n)的一個(gè)揣測(cè) ，因此 ( ) ( 1)Td n x w n???是一個(gè) 揣測(cè) 誤差，用( 1)enn? 表示。 RLS 算法導(dǎo)出 這里將討論最小二乘的一種遞歸實(shí)現(xiàn)方式。在穩(wěn)定狀態(tài) 下，偏差權(quán)系數(shù)的最佳值（即 39。 此 外，假定 LMS 算法運(yùn)行 時(shí) 采用一個(gè)小收斂因子，并且 和 自適應(yīng)過程收斂到最優(yōu) 數(shù)量的 權(quán) 限 0w 附近， 那么 式（ 337）中的梯度估計(jì) ()Jn? 實(shí)際是 趨近于零。下面 分析討論 LMS 算法抽頭權(quán)向量的期望值 如何 收斂 的 問題。 將 橫向?yàn)V波器的抽頭輸入( ) , ( 1 ) , ..., ( 1 )x n x n x n M? ? ?的相關(guān)矩陣 定義 為 R，則 ( ) ( )TR E x n x n?????? (316) 式中， ? ?( ) ( ) , ( 1 ) , . . . , ( 1 ) Tx n x n x n x n M? ? ? ?是 抽頭 輸入向量。 獲得教小的 J 才能得到最佳濾波器的系數(shù)值 。這樣的均衡器的收斂過程一般稱為 “學(xué)習(xí) ”過程。下面 以第 k 碼元ka 為例 來討論 。 （ 2）分析 LMS 算法和 RLS 算法的性能，包括其穩(wěn)定性、收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差，并用 MATLAB 進(jìn)行仿真 驗(yàn)證 。 第二種叫做 自適應(yīng)均衡器 。 參考文獻(xiàn) ............................................................................................................................... 34 附錄 1 .................................................................................................................................... 35 附錄 2 .................................................................................................................................... 37 1 第一章 緒論 均衡器研究背景及意義 隨著科技的 快速發(fā)展， 通信系統(tǒng) 在其中肩負(fù)重任 。 本文 介紹了 自適應(yīng)均衡器的 設(shè)計(jì)原則 ，結(jié)合遞歸最小二乘算法和最小均方算法。頻域均衡適用于傳輸?shù)退俾蕯?shù)據(jù)時(shí)，因?yàn)轭l域均衡在信道特性保持不變；在高速數(shù)據(jù)傳輸中，時(shí)域均衡得到廣泛應(yīng)用，是因?yàn)樗梢愿鶕?jù)變化的信道特性來調(diào)整，從而有效地減小碼間串?dāng)_ 。 第五章 用 MATLAB 對(duì) LMS 算法和 RLS 算法仿真 和解析 。信道中會(huì)存在的干擾一般設(shè)置為均值為 0 的高斯白噪聲，接收濾波器是用來接收信號(hào)的，并且盡最大可能去排除其他因素的干擾。通常是通過調(diào)整自適應(yīng)算法的來改變系數(shù)，而不是去改變?yōu)V波器的結(jié)構(gòu)，因?yàn)槿ジ淖兘Y(jié)構(gòu)太復(fù)雜了。其本質(zhì)如下： 已知的 輸入信號(hào) x(n)， 設(shè)計(jì) 一個(gè)線性 離散 濾波器 h(n)對(duì)所需的 期望響應(yīng) d(n)估計(jì)。于是得到 22min 0ddJ ???? （ 314） 由此可以看出： d(n)的方差與 0()dn? 的差值就是等于維納濾波器所得最小均方誤差。 但是 在自適應(yīng)過程中 ，隨著時(shí)間的推移，這個(gè)噪聲肯定會(huì)衰減的 。 但是 以上 ， LMS 算法 都 是根據(jù)單個(gè)數(shù)據(jù)樣本得對(duì)梯度向量各分量的估計(jì)， 沒有使用平均值 ， 那么推算出的 梯度估計(jì)中 肯定含有 噪聲 成分 [11]，從而 導(dǎo)致 LMS 算法權(quán)向量是帶噪聲的，最終權(quán)向量 就不可能是 0w ，而是漂移在最優(yōu)值 的 附近，形成了最優(yōu)值上的權(quán)向量噪聲。這是因?yàn)樵谑褂肔MS 算法時(shí)，單個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)并不是它期望 值的一個(gè)好的近似，從而使得其收斂過程是游弋的。 （ 2）自適應(yīng)信道均衡。 進(jìn)行整理可得： 1( ) ( ) ( ) ( )C n x n n x n??? （ 46） )()( nxng 陣變換的抽頭輸入向量為經(jīng)過相關(guān)矩陣的逆矩由此可見，增益向量 。 RLS 算法的期望學(xué)習(xí)曲線 RLS 算法的先驗(yàn)估計(jì)誤差 ( 1)enn? 為 e(n n1) = ( ) ( 1) ( )Td n w n x n??? （ 414） RLS 算法的期望學(xué)習(xí)曲線為 39。 ④ 根據(jù) RLS 算法公式可知， 基本 RLS 算法每次迭代需要 33 3 1MM??次乘法，一次除法和 222MM? 次加減法，即每次迭代運(yùn)算量為 2()OM ， 而 LMS 算法每次迭代的運(yùn)算量為O(M)，因此可以看出比起 LMS 算法， RLS 算法的運(yùn)算量 大得多 。 MATLAB 仿真 RLS 算法下的自適應(yīng)濾波器，它加權(quán)因子 ? 是 ， 采樣頻率為1000Hz，模擬頻率為 10Hz，采樣次 數(shù)為 1000。 （ 4） 熱工過程對(duì)象建模；因?yàn)?RLS 算法的過熱氣溫在線性自適應(yīng)建模算法，能夠在未知環(huán)境下去跟蹤輸入向量隨時(shí)間變化的特性。由于 (0) I???對(duì)算法進(jìn)行初始化， 使得 RLS算法所得的 ()wn? 有偏的。 輸入的數(shù)據(jù)隨 時(shí)刻 n 不斷變化 ， 這樣濾波器權(quán)向量系數(shù)就沒辦法一直收斂于最優(yōu)解， 如果 要讓 濾波器 一直處于 最佳狀態(tài) ，也就是說 代價(jià)函數(shù) ()n? 要一 22 直保持 最小， 這就要求 濾波器的權(quán)向量就應(yīng)隨時(shí)刻 n 發(fā)生相應(yīng)的改變 ，因此這里 的橫向?yàn)V波器 要有 時(shí)變的抽頭權(quán)向量 w(n)。由于 R 矩陣的跡就是輸入到各個(gè)權(quán)上信號(hào)的總功率， 一般情況下，總功率是 已知的 ，因而可用式（ 347）來 選取 一個(gè)合適的 μ 值。()wn的隨 機(jī) 向量 引起 LMS 算法均方誤差 J(n)中 的偏差 波動(dòng)，即 一次單一的 試驗(yàn)中均方誤差 J(n)具有隨機(jī)性。因此收斂條件可表示為： 17 10inMP??? （ 336） 在這個(gè)范圍 內(nèi) ，自適應(yīng)收斂速度 取決于 μ 值的 取值大小 決定， 同時(shí) μ 也決定了權(quán)向量解的噪聲。 簡(jiǎn)化可得 ( ) 2 ( ) 2J n Rw n p? ? ? （ 323） LMS 算法的梯度估計(jì)指的就是 ()Jn? 中 R 和 p 作瞬時(shí)估計(jì)，即： ( ) ( ) ( )TR n x n x n? ? （ 324） ( ) ( ) ( )p n x n d n? ? （ 325） 相應(yīng)的梯度向量的瞬時(shí)估計(jì)為： ( ) 2 ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )TJ n R w n p x n x n w n x n d n? ? ?? ? ? ? ? （ 326） 所以，根據(jù) 式（ 326）的梯度估計(jì) 的 迭代公式為： ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )w n w n J n w n R w n p??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ????? ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Tw n x n x n w n x n d n? ??? ? ??? ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )TTw n x n d n x n w n x n w n w n e n x n????? ? ? ? ??? （ 327） 與（ 322）給出的迭代公式一致。將式子（ 31）帶入到（ 36），得到 ? ? ? ?? ?0 0 0 ,0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0iiE x n k e n E x n k d n y n E x n k d n x n i???????? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ? k=0， 1， 2， ... (37) 式中， 0()yn是 最佳的輸出 濾波器， 0,i? 是最 佳 濾波器的第 i個(gè) 系數(shù)。 就是因?yàn)樗?實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單， 并且可以處理信道的時(shí)變性 ，所以 LMS 算法 在至今都 應(yīng)用 的普遍 。{}na 7 （ a） 開環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng) （ b）閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng) 圖 24 自適應(yīng)系統(tǒng) (1) 開環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸出端與輸入端之間 安全沒有什么聯(lián)系 ， 系統(tǒng)的輸出不會(huì)對(duì)自適應(yīng)算法有任何影響 ， 開環(huán) 是 根據(jù)已知 的信息形成算法， 去 調(diào)整自適應(yīng)系統(tǒng)本身。電磁波的傳播是在信道中的 一個(gè) 基本物理過程 。在上 個(gè) 世紀(jì) 60 年代 之前 ， 調(diào)整 均衡器的參數(shù) 的方法有 2 種 ，可分為： 固定的或者手動(dòng)調(diào)整的， 接下來 就來 簡(jiǎn)單介紹 下均衡技術(shù)的發(fā)展 史 。簡(jiǎn)言之，均衡算法的跟蹤能力要隨著信道特性變化。 I 基于 MATLAB 的自適應(yīng)均衡器 的 研究 【摘 要】 :隨著科